lim x->0 (akar(x+1)-1)/(((x+1)^(1/3))-1)= ....

Hasil limit adalah 3/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi \(u = x+1\). Ketika \(x \to 0\), maka \(u \to 1\). Limitnya menjadi:

\(\lim_{u \to 1} \frac{\sqrt{u} - 1}{u^{1/3} - 1}\)

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah \(\frac{0}{0}\) ketika \(u = 1\).

Turunan dari pembilang terhadap \(u\) adalah \(\frac{1}{2} u^{-1/2}\).
Turunan dari penyebut terhadap \(u\) adalah \(\frac{1}{3} u^{-2/3}\).

Maka limitnya menjadi:

\(\lim_{u \to 1} \frac{\frac{1}{2} u^{-1/2}}{\frac{1}{3} u^{-2/3}}\)

Substitusikan \(u = 1\):

\(\frac{\frac{1}{2} (1)^{-1/2}}{\frac{1}{3} (1)^{-2/3}}\)
= \(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{1}\)
= \(\frac{3}{2}\)

Jadi, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{((x+1)^{1/3})-1} = \frac{3}{2}\).