lim x->0 (akar(x+3)-akar(3))/tan 2x=...

akar(3)/12

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita dapat menggunakan metode perkalian sekawan dan identitas trigonometri.

Langkah 1: Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari pembilang.
lim x->0 (akar(x+3)-akar(3))/tan 2x * (akar(x+3)+akar(3))/(akar(x+3)+akar(3))
= lim x->0 ((x+3)-3) / (tan 2x * (akar(x+3)+akar(3)))
= lim x->0 x / (tan 2x * (akar(x+3)+akar(3)))

Langkah 2: Gunakan identitas tan 2x = sin 2x / cos 2x.
= lim x->0 x / ((sin 2x / cos 2x) * (akar(x+3)+akar(3)))
= lim x->0 (x * cos 2x) / (sin 2x * (akar(x+3)+akar(3)))

Langkah 3: Gunakan identitas lim x->0 (sin ax)/ax = 1, sehingga sin 2x = 2x jika x mendekati 0.
= lim x->0 (x * cos 2x) / (2x * (akar(x+3)+akar(3)))

Langkah 4: Sederhanakan dan substitusikan x = 0.
= lim x->0 cos 2x / (2 * (akar(x+3)+akar(3)))
= cos(0) / (2 * (akar(0+3)+akar(3)))
= 1 / (2 * (akar(3)+akar(3)))
= 1 / (2 * 2*akar(3))
= 1 / (4*akar(3))

Langkah 5: Rasionalisasi penyebut.
= 1 / (4*akar(3)) * (akar(3)/akar(3))
= akar(3) / (4*3)
= akar(3) / 12

Jadi, nilai dari lim x->0 (akar(x+3)-akar(3))/tan 2x adalah akar(3)/12.