lim _(x -> 0) (sin ^(2) 3 x-x^(2))/(tg^(2) x+x^(2))=

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x - x^2}{\tan^2 x + x^2}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung (jika tidak menghasilkan bentuk tak tentu) atau menggunakan sifat-sifat limit dan perluasan deret Taylor.

Pertama, mari kita coba substitusi $x=0$: $\frac{\sin^2(0) - 0^2}{\tan^2(0) + 0^2} = \frac{0-0}{0+0} = \frac{0}{0}$. Ini adalah bentuk tak tentu, jadi kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$, karena kita tertarik pada perilaku saat $x \to 0$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^2 3x}{x^2} - \frac{x^2}{x^2}}{\frac{\tan^2 x}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan kx}{x} = k$.

Mari kita ubah ekspresi tersebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{\sin 3x}{x})^2 - 1}{(\frac{\tan x}{x})^2 + 1}$

Kita perlu menyesuaikan agar sesuai dengan limit standar:
$\lim_{x \to 0} \frac{(3 \frac{\sin 3x}{3x})^2 - 1}{(\frac{\tan x}{x})^2 + 1}$

Sekarang, kita terapkan limitnya:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

Substitusikan nilai limit ini ke dalam ekspresi:
$\frac{(3 \times 1)^2 - 1}{(1)^2 + 1}$
$\frac{3^2 - 1}{1 + 1}$
$\frac{9 - 1}{2}$
$\frac{8}{2}$
$4$

Jadi, nilai limitnya adalah 4.

Metode lain menggunakan perluasan deret Taylor di sekitar x=0:
$\\sin u \approx u - \frac{u^3}{6} + ... 
\\sin 3x \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6} + ...
\\sin^2 3x \approx (3x)^2 = 9x^2$ (mengabaikan suku orde lebih tinggi)

$\\tan u \approx u + \frac{u^3}{3} + ... 
\\tan x \approx x$ (mengabaikan suku orde lebih tinggi)
$\\tan^2 x \approx x^2$

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{9x^2 - x^2}{x^2 + x^2}$
$\lim_{x \to 0} \frac{8x^2}{2x^2}$
$\lim_{x \to 0} 4 = 4$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.