lim _(x -> 0) (sin 2 x tan 3 x)/(x sin x)=...

6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \tan 3x}{x \sin x}$, kita dapat menggunakan identitas limit trigonometri dasar: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{bx} = 1$.

Kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut menjadi:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\tan 3x}{x} \cdot \frac{1}{\sin x} $$ 

Agar sesuai dengan identitas limit, kita perlu mengalikan dan membagi dengan konstanta yang tepat:

$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \right) \cdot \left( \frac{\tan 3x}{3x} \cdot 3 \right) \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} $$ 

Sekarang, kita kelompokkan suku-suku yang sesuai dengan identitas limit:

$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\tan 3x}{3x} \right) \cdot \frac{2 \cdot 3}{x} \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} $$ 

Perhatikan ada kesalahan dalam manipulasi di atas karena ada faktor x di penyebut yang belum terselesaikan.

Mari kita lakukan dengan cara yang lebih sistematis:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \tan 3x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\tan 3x}{\sin x} $$ 

Kita gunakan $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Namun, ini tidak membantu secara langsung.

Cara yang lebih efektif adalah mengalikan dan membagi dengan suku yang membuat kita bisa menggunakan limit standar:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\tan 3x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} $$ 

Sekarang kita modifikasi agar sesuai dengan bentuk $\frac{\sin ax}{ax}$ dan $\frac{\tan bx}{bx}$:

$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \right) \cdot \left( \frac{\tan 3x}{3x} \cdot 3 \right) \cdot \left( \frac{x}{\sin x} \right) $$ 

Menggunakan fakta bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan bx}{bx} = 1$, dan $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$:

$$ (1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 3) \cdot (1) = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6 $$ 

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 6.