lim x->0 (sin 4x+sin 2x)/(3x cos x)= . . . .

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x->0 (sin 4x + sin 2x) / (3x cos x)

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: d/dx (sin 4x + sin 2x) = 4 cos 4x + 2 cos 2x
Turunan penyebut: d/dx (3x cos x) = 3 cos x + 3x (-sin x) = 3 cos x - 3x sin x

Sekarang substitusikan x=0 ke dalam turunan pembilang dan penyebut:
Pembilang: 4 cos(0) + 2 cos(0) = 4(1) + 2(1) = 4 + 2 = 6
Penyebut: 3 cos(0) - 3(0) sin(0) = 3(1) - 0 = 3

Jadi, hasil limitnya adalah 6/3 = 2.

Alternatif lain tanpa L'Hopital:
lim x->0 (sin 4x + sin 2x) / (3x cos x)
= lim x->0 [ (sin 4x / 4x) * 4x + (sin 2x / 2x) * 2x ] / (3x cos x)
= lim x->0 [ 1 * 4x + 1 * 2x ] / (3x cos x)
= lim x->0 (6x) / (3x cos x)
= lim x->0 6 / (3 cos x)
= 6 / (3 cos 0)
= 6 / (3 * 1)
= 6 / 3
= 2