Pada segitiga ABC, vektor AB, vektor BC, dan vektor CA

Vektor QR = 1/2 vektor BC = 1/2 b, sehingga p=1/2.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa vektor QR mewakili vektor pb untuk suatu p bilangan real, kita akan menggunakan sifat-sifat vektor dan titik tengah.

Diketahui:

*   Vektor AB = a
*   Vektor BC = b
*   Vektor CA = c
*   P adalah titik tengah BC
*   Q adalah titik tengah CA
*   Garis melalui Q sejajar BC memotong AB di R.

Karena Q adalah titik tengah CA, maka vektor CQ = 1/2 vektor CB. 
Vektor CB = - vektor BC = -b.
Maka, vektor CQ = 1/2 (-b) = -1/2 b.
Vektor QA = 1/2 vektor CA = 1/2 c.

Karena garis QR sejajar BC, maka vektor QR sejajar vektor BC. Ini berarti vektor QR adalah kelipatan dari vektor BC, yaitu vektor QR = k * vektor BC = k * b, untuk suatu skalar k.

Sekarang kita tinjau segitiga ABC dan garis QR yang sejajar dengan BC. Segitiga AQR sebangun dengan segitiga ABC (karena sudut-sudutnya sama besar: ∠AQR = ∠ACB, ∠ARQ = ∠ABC, dan ∠A sama).

Karena Q adalah titik tengah CA, maka perbandingan sisi AQ terhadap AC adalah 1/2.
AQ/AC = 1/2.

Karena kesebangunan, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian juga sama:
QR/BC = AQ/AC = AR/AB = 1/2.

Maka, vektor QR = 1/2 vektor BC.
Karena vektor BC = b, maka vektor QR = 1/2 b.

Dalam soal diminta membuktikan vektor QR mewakili vektor pb untuk suatu p bilangan real. Dari hasil kita, vektor QR = 1/2 b, yang berarti p = 1/2.

Jadi, vektor QR mewakili vektor pb dengan p = 1/2.

Bukti:
1.  Karena Q adalah titik tengah CA, maka AQ = 1/2 AC.
2.  Karena QR sejajar BC dan Q berada pada AC, maka segitiga AQR sebangun dengan segitiga ABC.
3.  Dari kesebangunan segitiga, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama: QR/BC = AQ/AC.
4.  Substitusikan AQ = 1/2 AC ke dalam perbandingan: QR/BC = (1/2 AC)/AC = 1/2.
5.  Ini berarti vektor QR = 1/2 vektor BC.
6.  Karena vektor BC = b, maka vektor QR = 1/2 b.
7.  Ini membuktikan bahwa vektor QR mewakili vektor pb dengan p = 1/2, yang merupakan suatu bilangan real.