lim x->0 X tan 3x /sin^2 6x

1/12

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusi langsung x=0, akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah:
lim x->0 X tan 3x /sin^2 6x

Kita bisa menulis ulang sin^2 6x sebagai (sin 6x) * (sin 6x).

Menurut aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebutnya secara terpisah:

Turunan pembilang (x tan 3x):
Menggunakan aturan perkalian (u*v)' = u'v + uv'
Misalkan u = x, maka u' = 1
Misalkan v = tan 3x, maka v' = sec^2(3x) * 3 = 3 sec^2(3x)

Turunan pembilang = (1 * tan 3x) + (x * 3 sec^2(3x))
= tan 3x + 3x sec^2(3x)

Turunan penyebut (sin^2 6x):
Menggunakan aturan rantai:
Misalkan y = sin u, dan u = 6x
dy/dx = dy/du * du/dx
dy/dx = (2 sin u * cos u) * 6
= 2 sin 6x * cos 6x * 6
= 12 sin 6x cos 6x

Atau kita bisa gunakan identitas trigonometri sin(2A) = 2 sin A cos A:
Turunan penyebut = 6 * 2 sin 6x cos 6x = 6 sin(12x)

Sekarang kita terapkan aturan L'Hopital:
lim x->0 (tan 3x + 3x sec^2(3x)) / (12 sin 6x cos 6x)

Substitusi x = 0:
= (tan(0) + 3*0*sec^2(0)) / (12 sin(0) cos(0))
= (0 + 0) / (12 * 0 * 1)
= 0/0

Karena masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita terapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang baru (tan 3x + 3x sec^2(3x)):
Turunan tan 3x = 3 sec^2(3x)
Turunan 3x sec^2(3x) (menggunakan aturan perkalian):
 u = 3x, u' = 3
v = sec^2(3x), v' = 2 sec(3x) * sec(3x) tan(3x) * 3 = 6 sec^2(3x) tan(3x)
= (3 * sec^2(3x)) + (3x * 6 sec^2(3x) tan(3x))
= 3 sec^2(3x) + 18x sec^2(3x) tan(3x)

Total turunan pembilang = 3 sec^2(3x) + 3 sec^2(3x) + 18x sec^2(3x) tan(3x)
= 6 sec^2(3x) + 18x sec^2(3x) tan(3x)

Turunan penyebut baru (12 sin 6x cos 6x):
Kita gunakan 6 sin(12x)
Turunan 6 sin(12x) = 6 * cos(12x) * 12 = 72 cos(12x)

Sekarang terapkan aturan L'Hopital lagi:
lim x->0 (6 sec^2(3x) + 18x sec^2(3x) tan(3x)) / (72 cos(12x))

Substitusi x = 0:
= (6 sec^2(0) + 18*0*sec^2(0) tan(0)) / (72 cos(0))
= (6 * 1^2 + 0) / (72 * 1)
= 6 / 72
= 1/12

**Alternatif menggunakan sifat limit:**
lim x->0 tan(ax)/x = a
lim x->0 sin(bx)/x = b
lim x->0 sin(ax)/x = a

lim x->0 X tan 3x /sin^2 6x
= lim x->0 (x/sin 6x) * (tan 3x / sin 6x)

Kita bisa pisah menjadi:
= lim x->0 (x/sin 6x) * lim x->0 (tan 3x / sin 6x)

Untuk lim x->0 (x/sin 6x), kita bisa bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->0 (1 / (sin 6x / x))
= 1 / 6

Untuk lim x->0 (tan 3x / sin 6x), kita bisa bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->0 ((tan 3x / x) / (sin 6x / x))
= (3 / 6)
= 1/2

Jadi, hasil perkalian kedua limit tersebut adalah:
(1/6) * (1/2) = 1/12

Namun, jika kita lihat soalnya lagi:
lim x->0 X tan 3x /sin^2 6x
Ini bisa ditulis sebagai:
lim x->0 (x * tan 3x) / (sin 6x * sin 6x)

Kita bagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
= lim x->0 ( (x * tan 3x / x^2) / (sin 6x * sin 6x / x^2) )
= lim x->0 ( (x/x) * (tan 3x / x) / ( (sin 6x / x) * (sin 6x / x) ) )
= lim x->0 ( 1 * (tan 3x / x) / ( (sin 6x / x) * (sin 6x / x) ) )

Kita tahu:
lim x->0 tan(ax)/x = a
lim x->0 sin(bx)/x = b

Maka:
= ( 1 * 3 / (6 * 6) )
= 3 / 36
= 1/12

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 1/12.