lim = x->0 (xtanx)/(1-cos 2x) =

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit:
lim x->0 (x tan x) / (1 - cos 2x)

Gunakan identitas 1 - cos 2x = 2 sin^2 x:

lim x->0 (x tan x) / (2 sin^2 x)

Gunakan tan x = sin x / cos x:

lim x->0 (x * (sin x / cos x)) / (2 sin^2 x)

lim x->0 (x sin x) / (2 sin^2 x cos x)

Sederhanakan sin x di pembilang dan penyebut:

lim x->0 x / (2 sin x cos x)

Gunakan identitas sin 2x = 2 sin x cos x:

lim x->0 x / (sin 2x)

Sekarang kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x mendekati 0. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan dari x adalah 1.
Turunan dari sin 2x adalah 2 cos 2x.

lim x->0 1 / (2 cos 2x)

Substitusikan x = 0:

1 / (2 cos(2*0))

1 / (2 cos(0))

1 / (2 * 1)

1 / 2

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.