lim x->1 (1-cos2(1-1/x))/((x-1)^2) = ...

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{1-\cos^2(1-\frac{1}{x})}{ (x-1)^2 }$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan substitusi.

Pertama, kita tahu bahwa $1 - \cos^2(\theta) = \sin^2(\theta)$. Jadi, bagian pembilang dapat ditulis ulang sebagai $\sin^2(1-\frac{1}{x})$.

Limit menjadi: $\lim_{x \to 1} \frac{\sin^2(1-\frac{1}{x})}{ (x-1)^2 }$

Sekarang, mari kita perhatikan argumen dari fungsi sinus, yaitu $(1-\frac{1}{x})$.
Kita bisa menyederhanakan $(1-\frac{1}{x})$ menjadi $\frac{x-1}{x}$.

Sehingga, limitnya menjadi: $\lim_{x \to 1} \frac{\sin^2(\frac{x-1}{x})}{ (x-1)^2 }$

Kita bisa menuliskan $\sin^2(\frac{x-1}{x})$ sebagai $(\sin(\frac{x-1}{x}))^2$.
Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 1} \frac{(\sin(\frac{x-1}{x}))^2}{ (x-1)^2 }$

Kita bisa memisahkan kuadratnya:
$\lim_{x \to 1} \left( \frac{\sin(\frac{x-1}{x})}{ x-1 } \right)^2$

Sekarang, mari kita fokus pada limit di dalam kurung: $\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\frac{x-1}{x})}{ x-1 }$.

Kita bisa menggunakan substitusi. Misalkan $u = \frac{x-1}{x}$.
Ketika $x \to 1$, maka $u = \frac{1-1}{1} = 0$.

Namun, substitusi langsung di sini agak rumit karena penyebutnya $(x-1)$. Mari kita gunakan sifat limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$.

Agar sesuai dengan bentuk ini, kita perlu memanipulasi ekspresi di dalam limit:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\frac{x-1}{x})}{ x-1 } = \lim_{x \to 1} \frac{\sin(\frac{x-1}{x})}{ \frac{x-1}{x} \cdot x }$

Kita bisa memisahkan $\frac{1}{x}$ keluar dari limit:
$= \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sin(\frac{x-1}{x})}{ \frac{x-1}{x} } \cdot \frac{1}{x} \right)$

Karena $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$, dan ketika $x \to 1$, maka $\frac{x-1}{x} \to 0$. Jadi:
$= 1 \cdot \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$
$= 1 \cdot \frac{1}{1}$
$= 1$

Sekarang kita kembali ke limit awal yang dikuadratkan:
$\lim_{x \to 1} \left( \frac{\sin(\frac{x-1}{x})}{ x-1 } \right)^2 = (1)^2 = 1$.

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1.