Nilai minimum dari f(x, y)=10x+4y yang pertidaksamaan

25

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 10x + 4y pada daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, kita perlu menggunakan metode program linear.

Langkah 1: Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.
1. 5x + 2y <= 80
2. x + 4y >= 25
3. x >= 0
4. y >= 0

Langkah 2: Cari titik-titik sudut (titik ekstrem) dari daerah penyelesaian.
Titik-titik sudut diperoleh dari perpotongan garis-garis batas:
- Perpotongan x=0 dan y=0 adalah (0,0).
- Perpotongan x=0 dengan 5x+2y=80 => 2y=80 => y=40. Titik: (0,40).
- Perpotongan y=0 dengan 5x+2y=80 => 5x=80 => x=16. Titik: (16,0).
- Perpotongan x=0 dengan x+4y=25 => 4y=25 => y=6.25. Titik: (0, 6.25).
- Perpotongan y=0 dengan x+4y=25 => x=25. Titik: (25,0).
- Perpotongan 5x+2y=80 dan x+4y=25:
  Kalikan persamaan pertama dengan 2: 10x + 4y = 160
  Kurangkan persamaan kedua: (10x + 4y) - (x + 4y) = 160 - 25
  9x = 135 => x = 15
  Substitusikan x=15 ke x+4y=25: 15 + 4y = 25 => 4y = 10 => y = 2.5. Titik: (15, 2.5).

Langkah 3: Uji titik-titik sudut pada fungsi objektif f(x, y) = 10x + 4y.
- f(0,0) = 10(0) + 4(0) = 0
- f(0,40) = 10(0) + 4(40) = 160
- f(16,0) = 10(16) + 4(0) = 160
- f(0, 6.25) = 10(0) + 4(6.25) = 25
- f(25,0) = 10(25) + 4(0) = 250
- f(15, 2.5) = 10(15) + 4(2.5) = 150 + 10 = 160

Namun, perlu diperhatikan bahwa daerah penyelesaian harus memenuhi SEMUA pertidaksamaan. Kita perlu menggambar grafiknya untuk menentukan daerah yang valid.

Setelah menggambar grafik dan menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi semua kondisi (terutama x>=0, y>=0, 5x+2y<=80, dan x+4y>=25), titik-titik sudut yang relevan adalah:
- Perpotongan x+4y=25 dengan sumbu-y (x=0): (0, 6.25)
- Perpotongan 5x+2y=80 dengan sumbu-x (y=0): (16, 0)
- Perpotongan 5x+2y=80 dan x+4y=25: (15, 2.5)

Mari kita uji titik-titik sudut yang valid ini:
- f(0, 6.25) = 10(0) + 4(6.25) = 25
- f(16, 0) = 10(16) + 4(0) = 160
- f(15, 2.5) = 10(15) + 4(2.5) = 150 + 10 = 160

Nilai minimum yang diperoleh adalah 25.

Jadi, nilai minimum dari f(x, y) = 10x + 4y adalah 25.