Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan (3 1 3 2)(2 5 1

Determinan dari B^(-1) adalah 2.

Pembahasan

Diberikan persamaan matriks $(3 \quad 1 \\ 3 \quad 2)(2 \quad 5 \\ 1 \quad 3) = (2 \quad 1 \\ 4 \quad 5)B$.  Pertama, kita hitung hasil perkalian matriks di sisi kiri: $(3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \quad 3 \cdot 5 + 1 \cdot 3) \\ (3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \quad 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3) = (6+1 \quad 15+3) \\ (6+2 \quad 15+6) = (7 \quad 18) \\ (8 \quad 21)$.  Jadi, persamaannya menjadi $(7 \quad 18) \\ (8 \quad 21) = (2 \quad 1 \\ 4 \quad 5)B$. Untuk mencari matriks B, kita perlu mengalikan kedua sisi dengan invers dari matriks $(2 \quad 1 \\ 4 \quad 5)$.  Invers dari matriks $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$. Determinan dari $(2 \quad 1 \\ 4 \quad 5)$ adalah $ad-bc = (2)(5) - (1)(4) = 10 - 4 = 6$. Jadi, inversnya adalah $\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 5 & -1 \ -4 & 2 \end{pmatrix}$. Sekarang, kita perlu mencari determinan dari B invers ($B^{-1}$). Dari persamaan $(7 \quad 18) \\ (8 \quad 21) = (2 \quad 1 \\ 4 \quad 5)B$, kita bisa menulis $M = AB$, di mana $M = (7 \quad 18) \\ (8 \quad 21)$ dan $A = (2 \quad 1 \\ 4 \quad 5)$.  Kita tahu bahwa $\det(M) = \det(A) \det(B)$. Determinan dari M adalah $(7)(21) - (18)(8) = 147 - 144 = 3$. Determinan dari A adalah 6 (seperti yang dihitung sebelumnya). Jadi, $3 = 6 \cdot \det(B)$, yang berarti $\det(B) = 3/6 = 1/2$.  Kita ditanya untuk mencari determinan dari $B^{-1}$. Kita tahu bahwa $\det(B^{-1}) = 1 / \det(B)$. Oleh karena itu, $\det(B^{-1}) = 1 / (1/2) = 2$.