lim x->2 (x^2-2x)/(akar(x^2+5)-3)=...

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan substitusi langsung nilai x=2 ke dalam fungsi. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut.

lim x->2 (x^2-2x)/(akar(x^2+5)-3)

Substitusi x = 2:
Pembilang: 2^2 - 2*2 = 4 - 4 = 0
Penyebut: akar(2^2+5) - 3 = akar(4+5) - 3 = akar(9) - 3 = 3 - 3 = 0

Hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0. Oleh karena itu, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut.

Konjugat dari (akar(x^2+5)-3) adalah (akar(x^2+5)+3).

lim x->2 [(x^2-2x)/(akar(x^2+5)-3)] * [(akar(x^2+5)+3)/(akar(x^2+5)+3)]

= lim x->2 [(x^2-2x)(akar(x^2+5)+3)] / [(x^2+5) - 9]
= lim x->2 [(x^2-2x)(akar(x^2+5)+3)] / (x^2-4)

Kita dapat memfaktorkan pembilang dan penyebut:
= lim x->2 [x(x-2)(akar(x^2+5)+3)] / [(x-2)(x+2)]

Kita bisa membatalkan (x-2) karena x mendekati 2, bukan sama dengan 2:
= lim x->2 [x(akar(x^2+5)+3)] / (x+2)

Sekarang, substitusi kembali x = 2:
= [2 * (akar(2^2+5)+3)] / (2+2)
= [2 * (akar(9)+3)] / 4
= [2 * (3+3)] / 4
= [2 * 6] / 4
= 12 / 4
= 3

Jadi, nilai limitnya adalah 3.