lim x->2 (x^2-3x+2)sin(2x-4)/(x^2-5x+6)^2=

Tak hingga

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=2 langsung ke dalam persamaan, hasilnya akan menjadi bentuk tak tentu 0/0. 

lim x->2 (x^2-3x+2)sin(2x-4)/(x^2-5x+6)^2

Pertama, faktorkan kedua polinomial:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)

Sehingga persamaan menjadi:
lim x->2 (x-1)(x-2)sin(2x-4)/((x-2)(x-3))^2
lim x->2 (x-1)(x-2)sin(2(x-2))/(x-2)^2(x-3)^2

Kita tahu bahwa lim u->0 sin(u)/u = 1. Agar sesuai dengan bentuk ini, kita bisa manipulasi persamaan:
lim x->2 (x-1) * [sin(2(x-2))/(x-2)] * [(x-2)/(x-2)^2(x-3)^2]
lim x->2 (x-1) * [sin(2(x-2))/(2(x-2))] * 2 * [(x-2)/(x-2)^2(x-3)^2]
lim x->2 (x-1) * [sin(2(x-2))/(2(x-2))] * 2 * [1/(x-2)(x-3)^2]

Sekarang, substitusikan x=2:
(2-1) * 1 * 2 * [1/(2-2)(2-3)^2]
1 * 1 * 2 * [1/0*(-1)^2]

Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu. Mari kita gunakan aturan L'Hopital pada bentuk awal:
lim x->2 (x^2-3x+2)sin(2x-4)/(x^2-5x+6)^2

Turunan dari pembilang:
(2x-3)sin(2x-4) + (x^2-3x+2)cos(2x-4)*2

Turunan dari penyebut:
2(x^2-5x+6)(2x-5)

Substitusikan x=2 ke turunan:
Pembilang: (2(2)-3)sin(0) + (4-6+2)cos(0)*2 = (1)*0 + 0*1*2 = 0
Penyebut: 2(4-10+6)(4-5) = 2(0)(-1) = 0

Karena masih 0/0, kita perlu menerapkan L'Hopital lagi. Ini akan menjadi sangat kompleks.

Mari kita kembali ke manipulasi:
lim x->2 (x-1)(x-2)sin(2x-4)/((x-2)^2(x-3)^2)
lim x->2 (x-1) * [sin(2x-4)/(x-2)] * [(x-2)/(x-2)^2(x-3)^2]
lim x->2 (x-1) * [sin(2(x-2))/(x-2)] * [1/(x-2)(x-3)^2]

Kita tahu lim x->2 [sin(2(x-2))/(x-2)] = 2 (karena lim u->0 sin(au)/u = a).

Jadi:
lim x->2 (x-1) * 2 * [1/(x-2)(x-3)^2]

Ini masih menyisakan (x-2) di penyebut, yang akan menuju tak hingga. Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau saya melewatkan sesuatu.

Namun, jika kita menganggap bentuknya adalah:
lim x->2 (x^2-3x+2)sin(2x-4)/((x^2-5x+6))

lim x->2 (x-1)(x-2)sin(2(x-2))/((x-2)(x-3))
lim x->2 (x-1) * [sin(2(x-2))/(x-2)] * [(x-2)/(x-3)]
lim x->2 (x-1) * 2 * [(x-2)/(x-3)]
Substitusikan x=2:
(2-1) * 2 * (0/(2-3)) = 1 * 2 * 0 = 0

Mari kita asumsikan soal yang dimaksud adalah:
lim x->2 (x^2-3x+2)sin(2x-4)/(x^2-5x+6)

Maka jawabannya adalah 0.

Jika soal persis seperti yang tertulis: lim x->2 (x^2-3x+2)sin(2x-4)/(x^2-5x+6)^2
Karena pembilang memiliki faktor (x-2) satu kali dan penyebut memiliki faktor (x-2) dua kali, maka limitnya adalah tak hingga. 

lim x->2 (x-1)(x-2)sin(2(x-2))/((x-2)^2(x-3)^2)
lim x->2 (x-1) * [sin(2(x-2))/(x-2)] * [1/(x-2)(x-3)^2]
lim x->2 (x-1) * 2 * [1/(x-2)(x-3)^2]
Ketika x mendekati 2, (x-1) mendekati 1, 2 tetap 2, (x-3)^2 mendekati 1. Namun, (x-2) di penyebut mendekati 0. Ini membuat keseluruhan ekspresi mendekati tak hingga.