lim x-> 3 (1-cos^2(x-3))/(x^2-6x+9)=...

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit: lim x-> 3 (1-cos^2(x-3))/(x^2-6x+9)

Kita tahu bahwa 1 - cos^2(θ) = sin^2(θ).
Jadi, pembilang menjadi sin^2(x-3).

Sekarang kita perhatikan penyebutnya: x^2 - 6x + 9. Ini adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x-3)^2.

Jadi, limitnya menjadi: lim x-> 3 sin^2(x-3) / (x-3)^2

Kita bisa menulis ulang ini sebagai: lim x-> 3 [sin(x-3) / (x-3)]^2

Kita tahu bahwa limit dari sin(θ)/θ saat θ mendekati 0 adalah 1.
Dalam kasus ini, saat x mendekati 3, (x-3) mendekati 0. Jadi, kita bisa mengganti θ dengan (x-3).

lim x-> 3 sin(x-3) / (x-3) = 1

Karena itu, limit dari kuadratnya adalah:
[lim x-> 3 sin(x-3) / (x-3)]^2 = 1^2 = 1.

Jadi, nilai limitnya adalah 1.