lim x->3 ((2x-1)^2-25)/(x^2-2x-3)= ....

5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan faktorisasi jika diperlukan. Pertama, mari kita substitusikan x = 3 ke dalam fungsi:

Fungsi: $\\frac{(2x-1)^2 - 25}{x^2 - 2x - 3}$

Substitusi x = 3:
Pembilang: $(2(3)-1)^2 - 25 = (6-1)^2 - 25 = 5^2 - 25 = 25 - 25 = 0$
Penyebut: $3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 3 - 3 = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut. Kita bisa memfaktorkan pembilang dan penyebut.

Pembilang: $(2x-1)^2 - 25$
Ini adalah bentuk selisih dua kuadrat ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$), di mana $a = (2x-1)$ dan $b = 5$.
$(2x-1 - 5)(2x-1 + 5) = (2x-6)(2x+4) = 2(x-3) \times 2(x+2) = 4(x-3)(x+2)$

Penyebut: $x^2 - 2x - 3$
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -3 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -3 dan 1.
$(x-3)(x+1)$

Sekarang, substitusikan kembali bentuk yang difaktorkan ke dalam limit:
$\\lim_{x \to 3} \frac{4(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+1)}$

Karena $x \to 3$, maka $x \neq 3$, sehingga $(x-3)$ bisa dicoret dari pembilang dan penyebut:
$\\lim_{x \to 3} \frac{4(x+2)}{x+1}$

Sekarang, substitusikan kembali $x = 3$ ke dalam ekspresi yang telah disederhanakan:
$\\frac{4(3+2)}{3+1} = \\frac{4(5)}{4} = \\frac{20}{4} = 5$

Jadi, hasil dari $\\lim_{x \to 3} \frac{(2x-1)^2 - 25}{x^2 - 2x - 3}$ adalah 5.