lim _(x -> tak hingga)((1 cos ^(2)((2)/(x)))/(sin

Nilai limit adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan $\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \cos^2(2/x)}{\sin(4/x)}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, sehingga $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$. 
Maka, $1 - \cos^2(2/x) = \sin^2(2/x)$. 
Limit tersebut menjadi: $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2(2/x)}{\sin(4/x)}$. 
Kita juga dapat menggunakan sifat limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$. 
Saat $x \to \infty$, maka $2/x \to 0$ dan $4/x \to 0$. 
Kita dapat menulis ulang limit tersebut dengan mengalikan dan membagi dengan suku yang sesuai agar sesuai dengan sifat limit tersebut:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2(2/x)}{\sin(4/x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sin(2/x))^2}{\sin(4/x)}$ 
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sin(2/x))^2}{(2/x)^2} \times \frac{(2/x)^2}{\sin(4/x)}$ 
$= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{\sin(2/x)}{2/x}\right)^2 \times \frac{4/x^2}{\sin(4/x)}$ 
$= 1^2 \times \lim_{x \to \infty} \frac{4/x^2}{\sin(4/x)}$ 
$= \lim_{x \to \infty} \frac{4/x^2}{\sin(4/x)}$. 
Sekarang kita manipulasi lagi untuk menggunakan sifat limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin \theta} = 1$: 
$= \lim_{x \to \infty} \frac{4/x^2}{\sin(4/x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \times \frac{4/x}{\sin(4/x)}$ 
$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \times \frac{1}{\frac{\sin(4/x)}{4/x}}$ 
Karena $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(4/x)}{4/x} = 1$, maka limitnya menjadi: 
$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \times \frac{1}{1}$ 
$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. 

Alternatif lain dengan substitusi $u = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $u \to 0$. 
Limit menjadi $\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos^2(2u)}{\sin(4u)}$. 
$= \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2(2u)}{\sin(4u)}$ 
$= \lim_{u \to 0} \frac{\sin(2u)}{2u} \times \frac{2u}{\sin(4u)} \times \frac{\sin(2u)}{1}$ 
$= \lim_{u \to 0} \frac{\sin(2u)}{2u} \times \frac{2u}{4u} \times \frac{\sin(2u)}{1}$ 
$= 1 \times \frac{2}{4} \times \frac{\sin(0)}{1}$ 
$= 1 \times \frac{1}{2} \times 0 = 0$. 

Jadi, $\lim_{x \to \infty}((1 - \cos^2(2/x))/(sin(4/x))) = 0$.