lim x-> tak hingga ((x^2-3)cosx)/(x^3+1)

0

Pembahasan

Penjelasan:

Kita diminta untuk mencari nilai dari limit:
lim x-> tak hingga ((x^2-3)cosx)/(x^3+1)

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menganalisis perilaku fungsi ketika x mendekati tak hingga.

Perhatikan bagian penyebut: x^3 + 1. Ketika x mendekati tak hingga, x^3 juga mendekati tak hingga, sehingga penyebutnya akan sangat besar.

Perhatikan bagian pembilang: (x^2 - 3)cosx. 

*   Bagian (x^2 - 3): Ketika x mendekati tak hingga, x^2 - 3 juga mendekati tak hingga.
*   Bagian cosx: Nilai cosx berosilasi antara -1 dan 1. Nilai ini terbatas.

Ketika kita mengalikan fungsi yang mendekati tak hingga (x^2 - 3) dengan fungsi yang nilainya terbatas (cosx), hasil perkaliannya akan tetap terbatas (atau bisa jadi mendekati tak hingga positif atau negatif tergantung pada nilai cosx pada saat itu, namun secara umum tidak tumbuh secara independen seperti polinomial).

Jadi, kita memiliki bentuk \"terbatas / tak hingga\".

Secara umum, jika pembilang memiliki derajat polinomial yang lebih rendah daripada penyebut, atau jika pembilang terbatas sementara penyebut mendekati tak hingga, maka nilai limitnya adalah 0.

Dalam kasus ini, derajat tertinggi di pembilang (jika kita mengabaikan cosx) adalah 2 (dari x^2), sedangkan derajat tertinggi di penyebut adalah 3 (dari x^3). Karena derajat penyebut lebih tinggi daripada derajat pembilang, dan pembilang tidak tumbuh tanpa batas secara independen (karena adanya cosx), maka limitnya adalah 0.

Cara lain untuk melihatnya:
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan suku dengan pangkat tertinggi di penyebut, yaitu x^3:

lim x-> tak hingga [((x^2-3)cosx)/x^3] / [(x^3+1)/x^3]
= lim x-> tak hingga [(x^2cosx)/(x^3) - (3cosx)/(x^3)] / [1 + 1/x^3]
= lim x-> tak hingga [(cosx)/x - (3cosx)/(x^3)] / [1 + 1/x^3]

Ketika x mendekati tak hingga:
*   (cosx)/x -> 0 (karena cosx terbatas dan x menuju tak hingga)
*   (3cosx)/(x^3) -> 0 (karena cosx terbatas dan x^3 menuju tak hingga)
*   1/x^3 -> 0

Maka, limitnya menjadi (0 - 0) / (1 + 0) = 0/1 = 0.

Jawaban: 0