limit delta x->0 ((1/(x+delta x)-1/x)/delta x)=....

Nilai limitnya adalah -1/x^2.

Pembahasan

Pertanyaan ini meminta untuk menghitung turunan dari fungsi $\frac{1}{x}$ menggunakan definisi limit turunan. Definisi turunan dari sebuah fungsi $f(x)$ adalah $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
Dalam kasus ini, $f(x) = \frac{1}{x}$. Maka, $f(x+\Delta x) = \frac{1}{x+\Delta x}$.
Substitusikan ke dalam definisi limit:
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x}}{\Delta x}$
Untuk menyederhanakan pembilang, kita samakan penyebutnya:
$\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x+\Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}$
Sekarang masukkan kembali ke dalam limit:
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x}$
Bagi pembilang dengan $\Delta x$ (atau kalikan dengan $\frac{1}{\Delta x}$):
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \times \frac{1}{\Delta x}$
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)}$
Sekarang, substitusikan $\Delta x = 0$:
$\frac{-1}{x(x+0)} = \frac{-1}{x(x)} = \frac{-1}{x^2}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $-\frac{1}{x^2}$.