limit mendekati tak hingga 2x^2.tan(2/x).sin(4/x)=...

16

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan sifat-sifat limit.

Limit yang diberikan adalah: lim (x→∞) [2x² * tan(2/x) * sin(4/x)]

Kita bisa melakukan substitusi y = 1/x. Ketika x → ∞, maka y → 0.
Jadi, soal limit menjadi:
lim (y→0) [2(1/y)² * tan(2y) * sin(4y)]
= lim (y→0) [2/y² * tan(2y) * sin(4y)]

Kita bisa mengatur ulang ekspresi ini:
= 2 * lim (y→0) [ (tan(2y)/y) * (sin(4y)/y) ]

Untuk mempermudah, kita bisa menggunakan sifat limit trigonometri dasar:
lim (θ→0) [sin(θ)/θ] = 1
lim (θ→0) [tan(θ)/θ] = 1

Kita perlu menyesuaikan penyebut agar sesuai dengan argumen fungsi trigonometri:
= 2 * lim (y→0) [ (tan(2y)/(2y)) * 2 * (sin(4y)/(4y)) * 4 ]

Sekarang kita pisahkan limitnya:
= 2 * [ lim (y→0) (tan(2y)/(2y)) ] * [ lim (y→0) (sin(4y)/(4y)) ] * 2 * 4

Menggunakan sifat limit trigonometri:
= 2 * [1] * [1] * 2 * 4
= 2 * 1 * 1 * 8
= 16

Jadi, limit mendekati tak hingga dari 2x².tan(2/x).sin(4/x) adalah 16.