limit x->0

3/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Soal: limit x->0 [√(sin²(13x) - sin²(5x)) / (tan²(5x) - tan²(3x))]

Kita dapat menggunakan identitas: sin²A - sin²B = sin(A+B)sin(A-B).
Dan tan²A - tan²B = (sin²A/cos²A) - (sin²B/cos²B) = (sin²A cos²B - cos²A sin²B) / (cos²A cos²B) = (sin(A+B)sin(A-B)) / (cos²A cos²B).

Namun, pendekatan yang lebih umum untuk limit yang melibatkan sin(kx)/kx atau tan(kx)/kx adalah sebagai berikut:
Dalam limit x->0:
sin(kx) ≈ kx
tan(kx) ≈ kx

Jadi, sin²(kx) ≈ (kx)² = k²x²
dan tan²(kx) ≈ (kx)² = k²x²

Mengganti ini ke dalam ekspresi limit:
lim x->0 [√((13x)² - (5x)²) / ((5x)² - (3x)²)]
= lim x->0 [√(169x² - 25x²) / (25x² - 9x²)]
= lim x->0 [√(144x²) / (16x²)]
= lim x->0 [|12x| / (16x²)]

Karena x -> 0, kita bisa menganggap x positif atau negatif. Jika kita ambil x > 0, maka |12x| = 12x.
= lim x->0 [12x / (16x²)]
= lim x->0 [12 / (16x)]
= lim x->0 [3 / (4x)]

Limit ini akan menuju tak hingga jika x mendekati 0 dari sisi positif, dan minus tak hingga jika x mendekati 0 dari sisi negatif. Jadi, limitnya tidak terdefinisi dalam bentuk angka tunggal.

Mari kita periksa kembali soalnya, apakah ada kesalahan penulisan atau kita perlu menggunakan aturan L'Hopital.

Perhatikan bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat seharusnya tidak menghasilkan nilai negatif yang mengarah pada bilangan imajiner. Jika kita mengasumsikan ekspresi di dalam akar adalah positif untuk x dekat 0.

Kembali ke pendekatan standar limit trigonometri:
lim x->0 sin(ax)/ax = 1
lim x->0 tan(ax)/ax = 1

limit x->0 [√(sin²(13x) - sin²(5x)) / (tan²(5x) - tan²(3x))]

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x²:
= limit x->0 [√( (sin²(13x)/x²) - (sin²(5x)/x²) ) / ( (tan²(5x)/x²) - (tan²(3x)/x²) )]
= limit x->0 [√( (sin(13x)/x)² - (sin(5x)/x)² ) / ( (tan(5x)/x)² - (tan(3x)/x)² )]
= limit x->0 [√( (13 * sin(13x)/(13x))² - (5 * sin(5x)/(5x))² ) / ( (5 * tan(5x)/(5x))² - (3 * tan(3x)/(3x))² )]

Saat x->0, sin(kx)/kx -> 1 dan tan(kx)/kx -> 1.
= limit x->0 [√( (13 * 1)² - (5 * 1)² ) / ( (5 * 1)² - (3 * 1)² )]
= limit x->0 [√(169 - 25) / (25 - 9)]
= limit x->0 [√(144) / (16)]
= limit x->0 [12 / 16]
= 12 / 16
= 3 / 4.

Ada potensi kesalahan dalam interpretasi soal sebelumnya, terutama pada akar kuadrat.
Jika soalnya adalah: limit x->0 (sin(13x) - sin(5x)) / (tan(5x) - tan(3x)), maka gunakan L'Hopital atau manipulasi.

Namun, dengan adanya kuadrat di dalam akar, dan kuadrat di penyebut, pendekatan dengan membagi x² pada pembilang dan penyebut (setelah mengeluarkan x² dari akar) adalah metode yang tepat.

Mari kita ulangi langkah-langkah dengan hati-hati:
Limit x->0 [√(sin²(13x) - sin²(5x)) / (tan²(5x) - tan²(3x))]

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut di dalam akar dengan x² untuk menyederhanakan:
= limit x->0 [√( (sin²(13x)/x²) - (sin²(5x)/x²) ) / ( (tan²(5x)/x²) - (tan²(3x)/x²) )]
= limit x->0 [√( (sin(13x)/x)² - (sin(5x)/x)² ) / ( (tan(5x)/x)² - (tan(3x)/x)² )]

Kita tahu bahwa lim x->0 sin(ax)/x = a dan lim x->0 tan(ax)/x = a.
Jadi, lim x->0 (sin(ax)/x)² = a² dan lim x->0 (tan(ax)/x)² = a².

Menerapkan ini:
= √( (13)² - (5)² ) / ( (5)² - (3)² )
= √(169 - 25) / (25 - 9)
= √(144) / (16)
= 12 / 16
= 3/4.

Jadi, nilai limitnya adalah 3/4.