Diketahui x1=3 dan x2=1 merupakan akar x^3-2x^2-px+q=0.

-2

Pembahasan

Diketahui persamaan kubik x³ - 2x² - px + q = 0 memiliki akar x₁ = 3 dan x₂ = 1. Kita perlu mencari akar ketiga, sebut saja x₃.

Menurut Teorema Vieta untuk persamaan kubik ax³ + bx² + cx + d = 0 dengan akar x₁, x₂, dan x₃:
1. Jumlah akar: x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
2. Jumlah hasil kali akar berpasangan: x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
3. Hasil kali akar: x₁x₂x₃ = -d/a

Dalam persamaan kita, x³ - 2x² - px + q = 0, kita memiliki:
a = 1
b = -2
c = -p
d = q

Kita dapat menggunakan sifat jumlah akar untuk menemukan x₃:
x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
3 + 1 + x₃ = -(-2)/1
4 + x₃ = 2
x₃ = 2 - 4
x₃ = -2

Jadi, akar ketiga dari persamaan tersebut adalah -2.

Kita juga bisa memverifikasi ini menggunakan sifat hasil kali akar:
x₁x₂x₃ = -d/a
(3)(1)(-2) = -q/1
-6 = -q
q = 6

Dan menggunakan sifat jumlah hasil kali akar berpasangan:
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
(3)(1) + (3)(-2) + (1)(-2) = -p/1
3 - 6 - 2 = -p
-5 = -p
p = 5

Sehingga persamaan lengkapnya adalah x³ - 2x² - 5x + 6 = 0. Jika kita substitusikan akar-akarnya:
Untuk x = 3: (3)³ - 2(3)² - 5(3) + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 9 - 15 + 6 = -6 + 6 = 0 (Benar)
Untuk x = 1: (1)³ - 2(1)² - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = -1 - 5 + 6 = -6 + 6 = 0 (Benar)
Untuk x = -2: (-2)³ - 2(-2)² - 5(-2) + 6 = -8 - 2(4) + 10 + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = -16 + 16 = 0 (Benar)

Semua akar konsisten dengan persamaan.