Interval x sehingga gratik f(x)=sin (x + pi/4) cekung ke

3π/4 < x ≤ π

Pembahasan

Untuk menentukan interval x agar grafik f(x) = sin(x + π/4) cekung ke atas pada interval 0 ≤ x ≤ π, kita perlu menganalisis turunan kedua dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
f(x) = sin(x + π/4)
f'(x) = cos(x + π/4)

Langkah 2: Cari turunan kedua f''(x).
f''(x) = -sin(x + π/4)

Langkah 3: Agar grafik cekung ke atas, maka f''(x) > 0.
-sin(x + π/4) > 0
sin(x + π/4) < 0

Langkah 4: Tentukan interval di mana sin(θ) < 0.
Nilai sinus bernilai negatif pada kuadran III dan IV.

Langkah 5: Terapkan pada fungsi.
Kita perlu mencari nilai θ = x + π/4 sehingga sin(θ) < 0.
Jika kita mempertimbangkan rentang argumen untuk x dari 0 hingga π:
Ketika x = 0, θ = 0 + π/4 = π/4
Ketika x = π, θ = π + π/4 = 5π/4

Jadi, interval untuk θ adalah π/4 ≤ θ ≤ 5π/4.

Kita mencari di mana sin(θ) < 0 dalam interval ini. Sinus bernilai negatif dari π hingga 2π.
Dalam rentang θ kita (π/4 ≤ θ ≤ 5π/4), nilai sinus akan negatif ketika θ berada di antara π dan 5π/4.

Jadi, kita ingin π < x + π/4 ≤ 5π/4.

Untuk menemukan batas bawah:
π < x + π/4
π - π/4 < x
3π/4 < x

Untuk menemukan batas atas:
x + π/4 ≤ 5π/4
x ≤ 5π/4 - π/4
x ≤ 4π/4
x ≤ π

Namun, kita perlu memperhatikan bahwa kita mencari sin(x + π/4) < 0. Nilai sinus menjadi nol pada π. Jadi, kita harus mengecualikan titik di mana sin(x + π/4) = 0 agar tetap kurang dari nol.

sin(x + π/4) = 0 ketika x + π/4 = kπ, untuk k bilangan bulat.
Jika k=1, x + π/4 = π => x = 3π/4
Jika k=2, x + π/4 = 2π => x = 7π/4 (di luar interval 0 ≤ x ≤ π)

Jadi, agar sin(x + π/4) < 0, maka 3π/4 < x + π/4 < 5π/4.

Mengurangi π/4 dari semua bagian:
3π/4 < x < 5π/4.

Mengingat interval asli kita adalah 0 ≤ x ≤ π, maka interval yang memenuhi kondisi cekung ke atas adalah 3π/4 < x ≤ π.