limit x->0 (5x tan 3x)/(1-cos 6x)=...

Nilai limitnya adalah 5/6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Limit x→0 (5x tan 3x)/(1 - cos 6x)

Kita tahu bahwa tan θ = sin θ / cos θ dan 1 - cos 2θ = 2 sin² θ. Maka, 1 - cos 6x = 2 sin² 3x.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan limit:

Limit x→0 (5x * (sin 3x / cos 3x)) / (2 sin² 3x)

Limit x→0 (5x sin 3x) / (2 cos 3x sin² 3x)

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin 3x:

Limit x→0 (5x) / (2 cos 3x sin 3x)

Kita juga tahu bahwa sin 2θ = 2 sin θ cos θ, jadi 2 cos 3x sin 3x = sin 6x.

Limit x→0 (5x) / (sin 6x)

Sekarang, kita bisa menggunakan sifat limit bahwa Limit x→0 (sin ax) / (bx) = a/b atau Limit x→0 (ax) / (sin bx) = a/b.

Untuk menggunakan sifat ini, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 6:

Limit x→0 (5x * 6) / (sin 6x * 6)

Limit x→0 (30x) / (6 sin 6x)

Kita bisa memisahkan konstanta dan menggunakan sifat limit:

(30/6) * Limit x→0 (x) / (sin 6x)

Sekarang, kita gunakan sifat Limit x→0 (x) / (sin bx) = 1/b:

5 * (1/6) = 5/6

Jadi, nilai limitnya adalah 5/6.