Kelas 11mathKalkulus
limit x -> 0 (cos 4x - 1)/(sin x tan 3x) = ...
Pertanyaan
Hitunglah nilai dari limit x -> 0 (cos 4x - 1)/(sin x tan 3x).
Solusi
Verified
Nilai limitnya adalah -8/3.
Pembahasan
Untuk mencari nilai limit dari \(\lim_{x\to0}\frac{\cos 4x - 1}{\sin x \tan 3x}\), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\). Turunan dari \(\cos 4x - 1\) adalah \(-4\sin 4x\). Turunan dari \(\sin x \tan 3x\) adalah \(\cos x \tan 3x + \sin x (3 \sec^2 3x)\). Maka limitnya menjadi \(\lim_{x\to0}\frac{-4\sin 4x}{\cos x \tan 3x + 3\sin x \sec^2 3x}\). Jika kita substitusikan x = 0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk \(\frac{0}{0}\). Jadi, kita gunakan aturan L'Hopital sekali lagi. Turunan dari \(-4\sin 4x\) adalah \(-16\cos 4x\). Turunan dari \(\cos x \tan 3x + 3\sin x \sec^2 3x\) adalah \(-\sin x \tan 3x + \cos x (3 \sec^2 3x) + 3\cos x \sec^2 3x + 3\sin x (6 \sec 3x (\sec 3x \tan 3x))\). Maka limitnya menjadi \(\lim_{x\to0}\frac{-16\cos 4x}{-\sin x \tan 3x + 3\cos x \sec^2 3x + 3\cos x \sec^2 3x + 18\sin x \sec^2 3x \tan 3x}\). Sekarang substitusikan x = 0: \(\frac{-16\cos 0}{-\sin 0 \tan 0 + 3\cos 0 \sec^2 0 + 3\cos 0 \sec^2 0 + 18\sin 0 \sec^2 0 \tan 0}\) = \(\frac{-16(1)}{-0(0) + 3(1)(1)^2 + 3(1)(1)^2 + 18(0)(1)^2(0)}\) = \(\frac{-16}{0 + 3 + 3 + 0}\) = \(\frac{-16}{6}\) = \(-\frac{8}{3}\). Alternatif lain menggunakan identitas trigonometri dan limit dasar: \(\lim_{x\to0}\frac{\cos 4x - 1}{\sin x \tan 3x}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{-2\sin^2 2x}{\sin x \tan 3x}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{-2(2\sin x \cos x)^2}{\sin x \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{-8\sin^2 x \cos^2 x \cos 3x}{\sin x \sin 3x}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{-8\sin x \cos^2 x \cos 3x}{\sin 3x}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{-8\sin x}{\sin 3x} \times \lim_{x\to0}\cos^2 x \times \lim_{x\to0}\cos 3x\) Kita tahu \(\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}\). Maka, \(\frac{-8}{3} \times 1^2 \times 1\) = \(-\frac{8}{3}\).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Identitas Trigonometri, Aturan L Hopital
Apakah jawaban ini membantu?