Nilai dari lim x mendekati tak hingga (akar(x^2 +6x + 8) -

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan sifat-sifat limit dan manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah:
lim (√(x² + 6x + 8) - √(x(x + 2))) ketika x mendekati tak hingga.

Kita bisa menyederhanakan suku kedua di dalam akar:
√(x(x + 2)) = √(x² + 2x)

Jadi, limitnya menjadi:
lim (√(x² + 6x + 8) - √(x² + 2x)) ketika x mendekati tak hingga.

Ini adalah bentuk tak tentu ∞ - ∞. Untuk menyelesaikannya, kita akan mengalikan dengan konjugatnya:

Konjugat dari (√(x² + 6x + 8) - √(x² + 2x)) adalah (√(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x)).

Kalikan dan bagi dengan konjugatnya:

[ (√(x² + 6x + 8) - √(x² + 2x)) * (√(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x)) ] / [ √(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x) ]

Gunakan rumus (a - b)(a + b) = a² - b² di bagian pembilang:

[ (x² + 6x + 8) - (x² + 2x) ] / [ √(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x) ]

Sederhanakan pembilang:

(x² + 6x + 8 - x² - 2x) / [ √(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x) ]

(4x + 8) / [ √(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x) ]

Sekarang, untuk menyelesaikan limit saat x mendekati tak hingga, kita bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x (atau √x² karena x > 0).

Di pembilang, bagi dengan x:
(4x/x + 8/x) = 4 + 8/x

Di penyebut, kita perlu membagi dengan √(x²). Perhatikan bahwa √(x²) = |x|. Karena x mendekati tak hingga, x positif, jadi √(x²) = x.

Suku pertama di penyebut: √(x² + 6x + 8) = √(x²(1 + 6/x + 8/x²)) = x√(1 + 6/x + 8/x²)
Suku kedua di penyebut: √(x² + 2x) = √(x²(1 + 2/x)) = x√(1 + 2/x)

Jadi, ekspresi menjadi:
(4 + 8/x) / [ x√(1 + 6/x + 8/x²) + x√(1 + 2/x) ]

Kita bisa faktorkan x dari penyebut:
(4 + 8/x) / [ x(√(1 + 6/x + 8/x²) + √(1 + 2/x)) ]

Sekarang, kita ambil limit saat x mendekati tak hingga. Suku-suku yang memiliki x di penyebutnya akan mendekati 0:

lim (4 + 0) / [ x(√(1 + 0 + 0) + √(1 + 0)) ] ketika x mendekati tak hingga.

Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu 4/∞.

Mari kita periksa kembali langkah pembagian dengan x di penyebut.
Ekspresi yang disederhanakan adalah:
(4x + 8) / [ √(x² + 6x + 8) + √(x² + 2x) ]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:

Pembilang: (4x/x + 8/x) = 4 + 8/x

Penyebut: [√(x² + 6x + 8)/x + √(x² + 2x)/x]
Karena x > 0, maka x = √x²
Penyebut: [√(x²/x²) + √(6x/x²) + √(8/x²)] + [√(x²/x²) + √(2x/x²)]
Penyebut: [√(1 + 6/x + 8/x²) + √(1 + 2/x)]

Jadi, ekspresi limitnya adalah:
lim (4 + 8/x) / [ √(1 + 6/x + 8/x²) + √(1 + 2/x) ] ketika x → ∞

Saat x → ∞, suku-suku seperti 8/x, 6/x, 8/x², dan 2/x akan mendekati 0.

Limit = (4 + 0) / [ √(1 + 0 + 0) + √(1 + 0) ]
Limit = 4 / [ √1 + √1 ]
Limit = 4 / (1 + 1)
Limit = 4 / 2
Limit = 2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 2.