Sebuah akar x^3-4x^2-x+p=0 adalah 4. Tentukan p dan

Nilai p adalah 4, dan akar-akar lainnya adalah 1 dan -1.

Pembahasan

Diketahui sebuah persamaan polinomial \(x^3 - 4x^2 - x + p = 0\) dan salah satu akarnya adalah 4.

Untuk mencari nilai \(p\) dan akar-akar lainnya, kita bisa mensubstitusikan akar yang diketahui ke dalam persamaan.

Karena 4 adalah akar, maka jika kita substitusikan \(x = 4\) ke dalam persamaan, hasilnya harus sama dengan 0:
\(4^3 - 4(4^2) - 4 + p = 0\)
\(64 - 4(16) - 4 + p = 0\)
\(64 - 64 - 4 + p = 0\)
\(-4 + p = 0\)
\(p = 4\)

Sekarang persamaan polinomialnya menjadi: \(x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0\).

Untuk mencari akar-akar lainnya, kita bisa membagi polinomial ini dengan \((x - 4)\) menggunakan metode Horner atau pembagian polinomial.

Menggunakan metode Horner:

  4 | 1  -4  -1   4
    |    4   0  -4
    ----------------
      1   0  -1   0

Hasil pembagiannya adalah polinomial \(x^2 + 0x - 1\), yaitu \(x^2 - 1\).

Sekarang kita cari akar dari \(x^2 - 1 = 0\):
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm\sqrt{1}\)
\(x = 1\) atau \(x = -1\)

Jadi, nilai \(p\) adalah 4, dan akar-akar lainnya adalah 1 dan -1.

Persamaan lengkapnya adalah \(x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0\) dengan akar-akar 4, 1, dan -1.