limit x->0 ((sin2x)/(x^2 sinx)-2/(x^2))=...

Nilai limitnya adalah -1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(2x)}{x^2 \sin(x)} - \frac{2}{x^2}\right)$, pertama-tama kita samakan penyebutnya untuk menggabungkan kedua pecahan tersebut:

$\frac{\sin(2x)}{x^2 \sin(x)} - \frac{2}{x^2} = \frac{\sin(2x) - 2\sin(x)}{x^2 \sin(x)}$

Kita tahu bahwa $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:

$\frac{2\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)}{x^2 \sin(x)} = \frac{2\sin(x)(\cos(x) - 1)}{x^2 \sin(x)}$

Kita bisa membatalkan $\sin(x)$ di pembilang dan penyebut (karena kita mengambil limit saat x mendekati 0, $\sin(x)$ tidak sama dengan 0):

$\frac{2(\cos(x) - 1)}{x^2}$

Sekarang kita perlu menyelesaikan limit dari ekspresi ini saat $x \to 0$: $\lim_{x \to 0} \frac{2(\cos(x) - 1)}{x^2}$.

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = -rac{1}{2}$.

Maka, limitnya adalah $2 \times (-rac{1}{2}) = -1$.

Jadi, $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(2x)}{x^2 \sin(x)} - \frac{2}{x^2}\right) = -1$.