limit x -> 1/2 pi (sec x - tan x)

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Kita diminta untuk menghitung nilai dari limit:
L = lim (x -> π/2) [sec(x) - tan(x)]

Pertama, kita ubah fungsi sec(x) dan tan(x) ke dalam bentuk sin(x) dan cos(x):
sec(x) = 1 / cos(x)
tan(x) = sin(x) / cos(x)

Sehingga, ekspresi menjadi:
sec(x) - tan(x) = [1 / cos(x)] - [sin(x) / cos(x)] = [1 - sin(x)] / cos(x)

Sekarang kita hitung limitnya:
L = lim (x -> π/2) [ (1 - sin(x)) / cos(x) ]

Jika kita substitusikan x = π/2 secara langsung:
Sin(π/2) = 1
Cos(π/2) = 0

Maka pembilang menjadi 1 - 1 = 0, dan penyebut menjadi 0. Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, yang berarti kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital.
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim (x->c) f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim (x->c) f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (1 - sin(x)) adalah f'(x) = -cos(x).
Turunan dari penyebut cos(x) adalah g'(x) = -sin(x).

Maka, limitnya menjadi:
L = lim (x -> π/2) [ -cos(x) / -sin(x) ]
L = lim (x -> π/2) [ cos(x) / sin(x) ]
L = lim (x -> π/2) [ cot(x) ]

Sekarang substitusikan x = π/2:
L = cos(π/2) / sin(π/2)
L = 0 / 1
L = 0

Metode 2: Manipulasi aljabar dan identitas trigonometri.
Kita punya L = lim (x -> π/2) [ (1 - sin(x)) / cos(x) ]
Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu (1 + sin(x)):
L = lim (x -> π/2) [ (1 - sin(x)) / cos(x) * (1 + sin(x)) / (1 + sin(x)) ]
L = lim (x -> π/2) [ (1 - sin^2(x)) / (cos(x)(1 + sin(x))) ]

Menggunakan identitas trigonometri sin^2(x) + cos^2(x) = 1, maka 1 - sin^2(x) = cos^2(x).
L = lim (x -> π/2) [ cos^2(x) / (cos(x)(1 + sin(x))) ]

Kita bisa membatalkan satu faktor cos(x) dari pembilang dan penyebut (asalkan cos(x) ≠ 0, yang berlaku saat x mendekati π/2 tetapi tidak sama dengan π/2):
L = lim (x -> π/2) [ cos(x) / (1 + sin(x)) ]

Sekarang substitusikan x = π/2:
L = cos(π/2) / (1 + sin(π/2))
L = 0 / (1 + 1)
L = 0 / 2
L = 0

Kedua metode memberikan hasil yang sama.