limit x->1 (sin(1-1/x) cos(1-1/x))/(x-1)= ....

Nilai limit adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim (x→1) [sin(1 - 1/x) cos(1 - 1/x)] / (x - 1)

Misalkan u = 1 - 1/x. Ketika x → 1, maka 1/x → 1, sehingga u → 1 - 1 = 0.
Juga, kita bisa mengekspresikan (x - 1) dalam bentuk u:
1/x = 1 - u
x = 1 / (1 - u)
x - 1 = [1 / (1 - u)] - 1
x - 1 = [1 - (1 - u)] / (1 - u)
x - 1 = u / (1 - u)

Sekarang substitusikan ini ke dalam limit:
lim (u→0) [sin(u) cos(u)] / [u / (1 - u)]

Kita bisa memisahkan limit ini menjadi:
lim (u→0) [sin(u) / u] * lim (u→0) [cos(u) * (1 - u)]

Kita tahu bahwa lim (u→0) [sin(u) / u] = 1.

Untuk limit kedua:
lim (u→0) [cos(u) * (1 - u)] = cos(0) * (1 - 0) = 1 * 1 = 1.

Jadi, hasil akhirnya adalah hasil perkalian kedua limit tersebut:
1 * 1 = 1.

Maka, nilai limit x->1 (sin(1-1/x) cos(1-1/x))/(x-1) adalah 1.