Kelas 11Kelas 10mathEksponen Dan Logaritma
Diketahui m^(x+1)=n^(2-x)=p. Jika x1 dan x2 memenuhi
Pertanyaan
Diketahui m^(x+1)=n^(2-x)=p. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan mxn=p^6, tentukan nilai x1^2+x2^2.
Solusi
Verified
4
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma dan persamaan. Diketahui: m^(x+1) = p => m = p^(1/(x+1)) n^(2-x) = p => n = p^(1/(2-x)) Persamaan yang diberikan: m * n = p⁶ Ganti m dan n dengan ekspresi dalam p: p^(1/(x+1)) * p^(1/(2-x)) = p⁶ Gunakan sifat perkalian basis yang sama (a^b * a^c = a^(b+c)): p^((1/(x+1)) + (1/(2-x))) = p⁶ Karena basisnya sama (p), maka eksponennya harus sama: (1/(x+1)) + (1/(2-x)) = 6 Samakan penyebutnya: ((2-x) + (x+1)) / ((x+1)(2-x)) = 6 (3) / (2x - x² + 2 - x) = 6 3 / (-x² + x + 2) = 6 Kalikan kedua sisi dengan (-x² + x + 2): 3 = 6(-x² + x + 2) 3 = -6x² + 6x + 12 Susun ulang menjadi persamaan kuadrat: 6x² - 6x + 3 - 12 = 0 6x² - 6x - 9 = 0 Bagi seluruh persamaan dengan 3 untuk menyederhanakan: 2x² - 2x - 3 = 0 Misalkan akar-akar persamaan kuadrat ini adalah x1 dan x2. Kita perlu mencari nilai x1² + x2². Kita tahu dari Vieta's formulas bahwa untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0: Jumlah akar (x1 + x2) = -b/a Perkalian akar (x1 * x2) = c/a Dalam kasus ini, a=2, b=-2, c=-3. Jumlah akar: x1 + x2 = -(-2)/2 = 2/2 = 1 Perkalian akar: x1 * x2 = -3/2 Sekarang kita hitung x1² + x2²: x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2(x1 * x2) x1² + x2² = (1)² - 2(-3/2) x1² + x2² = 1 - (-3) x1² + x2² = 1 + 3 x1² + x2² = 4 Jadi, nilai x1² + x2² adalah 4.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Sifat Logaritma, Persamaan Eksponen
Section: Penyelesaian Persamaan Eksponensial
Apakah jawaban ini membantu?