limit x->2 ((3x-2)^1/2-2)/(2x-4)=

Nilai limitnya adalah 3/8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan manipulasi aljabar jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah:
$\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3x-2} - 2)}{2x-4}$

Langkah 1: Substitusi nilai x = 2 ke dalam fungsi.
Pembilang: $\sqrt{3(2)-2} - 2 = \sqrt{6-2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$
Penyebut: $2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

Karena hasil substitusi adalah bentuk $\frac{0}{0}$, ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan konjugat.

Langkah 2: Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang.
Konjugat dari $\sqrt{3x-2} - 2$ adalah $\sqrt{3x-2} + 2$.

$\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3x-2} - 2)}{(2x-4)} \times \frac{(\sqrt{3x-2} + 2)}{(\sqrt{3x-2} + 2)}$

Langkah 3: Lakukan perkalian.
Pembilang: $(\sqrt{3x-2} - 2)(\sqrt{3x-2} + 2) = (\sqrt{3x-2})^2 - (2)^2 = (3x-2) - 4 = 3x - 6$

Penyebut: $(2x-4)(\sqrt{3x-2} + 2)$

Sekarang limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 2} \frac{(3x - 6)}{(2x-4)(\sqrt{3x-2} + 2)}$

Langkah 4: Faktorkan pembilang dan penyebut.
Pembilang: $3x - 6 = 3(x - 2)$

Penyebut: $2x - 4 = 2(x - 2)$

Sekarang limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 2} \frac{3(x - 2)}{2(x - 2)(\sqrt{3x-2} + 2)}$

Langkah 5: Batalkan faktor yang sama $(x-2)$.
$\lim_{x \to 2} \frac{3}{2(\sqrt{3x-2} + 2)}$

Langkah 6: Substitusi kembali nilai x = 2.
$\frac{3}{2(\sqrt{3(2)-2} + 2)}$
$= \frac{3}{2(\sqrt{6-2} + 2)}$
$= \frac{3}{2(\sqrt{4} + 2)}$
$= \frac{3}{2(2 + 2)}$
$= \frac{3}{2(4)}$
$= \frac{3}{8}$

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah $\frac{3}{8}$.