limit x->-2 (x^3+8)/(x^2-x-6)=...

-12/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to -2} \frac{x^3+8}{x^2-x-6}$, pertama kita coba substitusikan nilai x = -2 ke dalam fungsi:

Pembilang: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$

Penyebut: $(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut. Kita bisa menggunakan faktorisasi atau aturan L'Hopital.

**Metode Faktorisasi:**

Kita faktorkan pembilang dan penyebut.

Pembilang ($x^3+8$) adalah penjumlahan kubus, yang dapat difaktorkan menjadi $(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Di sini, $a=x$ dan $b=2$. Jadi, $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$.

Penyebut ($x^2-x-6$) adalah persamaan kuadrat. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -6 dan jika dijumlahkan hasilnya -1. Bilangan tersebut adalah -3 dan 2. Jadi, $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$.

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-3)(x+2)}$

Kita bisa membatalkan faktor $(x+2)$ karena $x \to -2$ berarti $x \neq -2$, sehingga $x+2 \neq 0$.

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2-2x+4}{x-3}$

Sekarang kita substitusikan kembali x = -2:
$\frac{(-2)^2 - 2(-2) + 4}{-2 - 3} = \frac{4 + 4 + 4}{-5} = \frac{12}{-5} = -\frac{12}{5}$

**Metode Aturan L'Hopital:**
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan pembilang ($x^3+8$) adalah $3x^2$.
Turunan penyebut ($x^2-x-6$) adalah $2x-1$.

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to -2} \frac{3x^2}{2x-1}$

Sekarang substitusikan x = -2:
$\frac{3(-2)^2}{2(-2)-1} = \frac{3(4)}{-4-1} = \frac{12}{-5} = -\frac{12}{5}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.