limit x->3/2 akar((8x^3-27)/(4x^2-9))

Nilai limitnya adalah 3√2 / 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat melakukan substitusi langsung terlebih dahulu. Namun, jika menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menyederhanakan fungsi.

Limit x → 3/2 dari √((8x³ - 27) / (4x² - 9))

Jika kita substitusi x = 3/2:
Pembilang: 8(3/2)³ - 27 = 8(27/8) - 27 = 27 - 27 = 0
Penyebut: 4(3/2)² - 9 = 4(9/4) - 9 = 9 - 9 = 0

Karena menghasilkan bentuk 0/0, kita perlu menyederhanakan ekspresi dengan faktorisasi atau menggunakan aturan L'Hopital.

Mari kita faktorkan:
8x³ - 27 adalah selisih kubik: (2x)³ - 3³ = (2x - 3)( (2x)² + (2x)(3) + 3² ) = (2x - 3)(4x² + 6x + 9)
4x² - 9 adalah selisih kuadrat: (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3)

Sehingga, ekspresi menjadi:
√(( (2x - 3)(4x² + 6x + 9) ) / ( (2x - 3)(2x + 3) ))

Kita bisa membatalkan (2x - 3) karena x → 3/2, sehingga 2x - 3 ≠ 0.

Ekspresi yang disederhanakan menjadi:
√((4x² + 6x + 9) / (2x + 3))

Sekarang, kita substitusi kembali x = 3/2:
√((4(3/2)² + 6(3/2) + 9) / (2(3/2) + 3))
= √((4(9/4) + 9 + 9) / (3 + 3))
= √((9 + 9 + 9) / 6)
= √(27 / 6)
= √(9 / 2)
= √9 / √2
= 3 / √2

Untuk merasionalkan penyebut:
(3 / √2) * (√2 / √2) = 3√2 / 2

Jadi, nilai limitnya adalah 3√2 / 2.