limit x mendekati 0 (xtan 3x)/(sin^2 6x)= ....

1/12

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan manipulasi aljabar:
Kita tahu bahwa tan(3x) = sin(3x)/cos(3x).
Jadi, ekspresi menjadi: limit x->0 (x * sin(3x) / cos(3x)) / sin^2(6x)

Kita juga tahu bahwa untuk nilai x yang kecil, sin(ax) mendekati ax.
Jadi, sin(3x) ≈ 3x dan sin(6x) ≈ 6x.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
limit x->0 (x * (3x) / cos(3x)) / (6x)^2
limit x->0 (3x^2 / cos(3x)) / (36x^2)

Kita bisa membatalkan x^2:
limit x->0 (3 / cos(3x)) / 36

Karena cos(0) = 1:
limit x->0 (3 / 1) / 36
= 3 / 36
= 1/12

Aturan L'Hopital:
Jika kita menerapkan aturan L'Hopital, kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut.
Pembilang: f(x) = x tan(3x)
f'(x) = 1 * tan(3x) + x * sec^2(3x) * 3 = tan(3x) + 3x sec^2(3x)
Penyebut: g(x) = sin^2(6x)
g'(x) = 2 sin(6x) * cos(6x) * 6 = 12 sin(6x) cos(6x) = 6 sin(12x)

Menerapkan L'Hopital lagi:
limit x->0 (tan(3x) + 3x sec^2(3x)) / (6 sin(12x))
limit x->0 (3 sec^2(3x) + 3 sec^2(3x) + 3x * 2 sec(3x) * sec(3x) tan(3x) * 3) / (6 * 12 cos(12x))
limit x->0 (6 sec^2(3x) + 18x sec^2(3x) tan(3x)) / (72 cos(12x))

Saat x mendekati 0:
sec(0) = 1, tan(0) = 0, cos(0) = 1
limit x->0 (6 * 1^2 + 18*0 * 1^2 * 0) / (72 * 1)
= (6 + 0) / 72
= 6 / 72
= 1/12