limit x mendekati tak hingga (akar(x^2+1)-(x-1))=...

Limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan teknik mengalikan dengan konjugat.

Limit yang diberikan adalah: lim (x→∞) [√(x²+1) - (x-1)]

Pertama, kita kalikan dengan konjugat dari ekspresi di dalam kurung, yaitu [√(x²+1) + (x-1)], baik di pembilang maupun penyebut.

lim (x→∞) [√(x²+1) - (x-1)] * [√(x²+1) + (x-1)] / [√(x²+1) + (x-1)]

Ini sama dengan menggunakan identitas (a-b)(a+b) = a² - b² di pembilang:

lim (x→∞) [(x²+1) - (x-1)²] / [√(x²+1) + (x-1)]

Sekarang, kita ekspansi (x-1)²:
(x-1)² = x² - 2x + 1

Substitusikan kembali ke ekspresi:

lim (x→∞) [(x²+1) - (x² - 2x + 1)] / [√(x²+1) + (x-1)]

Sederhanakan pembilang:

lim (x→∞) [x² + 1 - x² + 2x - 1] / [√(x²+1) + (x-1)]

lim (x→∞) [2x] / [√(x²+1) + (x-1)]

Sekarang, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (pangkat tertinggi di penyebut adalah x di bawah akar kuadrat yang menjadi x, dan x di luar akar kuadrat).

lim (x→∞) [2x / x] / [√(x²/x²) + (x/x) - (1/x)]

lim (x→∞) [2] / [√(1 + 1/x²) + 1 - 1/x]

Saat x mendekati tak hingga (∞):
1/x mendekati 0
1/x² mendekati 0

Jadi, limitnya menjadi:

2 / [√(1 + 0) + 1 - 0]

2 / [√1 + 1]

2 / [1 + 1]

2 / 2

1

Jadi, limit x mendekati tak hingga (√(x²+1) - (x-1)) adalah 1.