Tentukan (a) integral (x^2+2x+1)(1/x) dx (b) integral 0 1

a. 1/2 x² + 2x + ln|x| + C. b. 5/2 + e³ - e².

Pembahasan

a. Integral dari (x^2+2x+1)(1/x) dx
Pertama, kita sederhanakan ekspresi di dalam integral:
(x^2+2x+1)(1/x) = x^2/x + 2x/x + 1/x
= x + 2 + 1/x

Sekarang kita integralkan:
∫(x + 2 + 1/x) dx

Menggunakan aturan dasar integral:
∫x dx = 1/2 x² + C
∫2 dx = 2x + C
∫(1/x) dx = ln|x| + C

Jadi, integralnya adalah:
1/2 x² + 2x + ln|x| + C

b. Integral tentu dari 0 sampai 1 (x+2+e^(x+2)) dx
Kita akan mengintegralkan fungsi f(x) = x + 2 + e^(x+2) dari 0 hingga 1.

Integral dari x adalah 1/2 x²
Integral dari 2 adalah 2x
Integral dari e^(x+2) adalah e^(x+2) (karena turunan dari x+2 adalah 1)

Jadi, hasil integral tak tentunya adalah F(x) = 1/2 x² + 2x + e^(x+2)

Sekarang kita evaluasi F(1) - F(0):

F(1) = 1/2 (1)² + 2(1) + e^(1+2)
F(1) = 1/2 + 2 + e³
F(1) = 5/2 + e³

F(0) = 1/2 (0)² + 2(0) + e^(0+2)
F(0) = 0 + 0 + e²
F(0) = e²

Integral tentu = F(1) - F(0)
= (5/2 + e³) - (e²)
= 5/2 + e³ - e²

Jadi:
a. Integral (x^2+2x+1)(1/x) dx = 1/2 x² + 2x + ln|x| + C
b. Integral 0 1 (x+2+e^(x+2)) dx = 5/2 + e³ - e²