limit x -> pi/2 (1-tan 2x)/(2 tan x) = ....

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x -> pi/2 (1 - tan(2x)) / (2 tan x), kita bisa menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan substitusi atau identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan substitusi t = x - pi/2
Ketika x -> pi/2, maka t -> 0.
x = t + pi/2

Substitusikan ke dalam persamaan:
Limit t -> 0 (1 - tan(2(t + pi/2))) / (2 tan(t + pi/2))
Limit t -> 0 (1 - tan(2t + pi)) / (2 tan(t + pi/2))

Menggunakan identitas tan(A + pi) = tan A dan tan(A + pi/2) = -cot A:
Limit t -> 0 (1 - tan(2t)) / (2 (-cot t))
Limit t -> 0 (1 - tan(2t)) / (-2 cot t)
Limit t -> 0 (1 - tan(2t)) / (-2 / tan t)
Limit t -> 0 (tan t (1 - tan(2t))) / (-2)

Kita tahu bahwa tan(2t) = (2 tan t) / (1 - tan^2 t).
Limit t -> 0 (tan t (1 - (2 tan t) / (1 - tan^2 t))) / (-2)
Limit t -> 0 (tan t ((1 - tan^2 t) - 2 tan t) / (1 - tan^2 t)) / (-2)
Limit t -> 0 (tan t (1 - tan^2 t - 2 tan t)) / (-2 (1 - tan^2 t))

Ketika t -> 0, tan t -> 0. Maka suku yang mengandung tan t akan menjadi 0.
Limit t -> 0 (0 * (1 - 0 - 0)) / (-2 * (1 - 0)) = 0 / -2 = 0.

Metode 2: Menggunakan aturan L'Hopital (jika bentuknya 0/0 atau tak hingga/tak hingga).
Ketika x -> pi/2, tan x -> tak hingga dan tan(2x) -> tan(pi) = 0.
Jadi, limitnya adalah (1 - 0) / (2 * tak hingga) = 1 / tak hingga = 0.

Namun, jika kita mendekati pi/2 dari sisi kanan atau kiri, tan x bisa menjadi positif atau negatif tak hingga.
Mari kita periksa bentuknya lebih teliti.
Ketika x -> pi/2, 2x -> pi.
Tan(2x) = tan(pi + (2x-pi)) = tan(2x-pi). Jika x mendekati pi/2, maka 2x-pi mendekati 0. Jadi tan(2x) mendekati 0.
Tan(x) = tan(pi/2 + (x-pi/2)) = -cot(x-pi/2). Jika x mendekati pi/2, maka x-pi/2 mendekati 0. Jadi tan(x) mendekati -cot(0), yang menuju tak hingga negatif.

Jadi, limitnya adalah (1 - 0) / (2 * (-tak hingga)) = 1 / (-tak hingga) = 0.

Jawaban Akhir: Limit x -> pi/2 (1 - tan(2x)) / (2 tan x) = 0.