limit x -> pi/4 cos 2x/(sin x-cos x)=....

Nilai limitnya adalah -√2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan identitas trigonometri.
Limit yang diberikan adalah: lim (x -> π/4) [cos(2x) / (sin x - cos x)]
Jika kita substitusikan x = π/4 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Kita gunakan identitas trigonometri cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).
Jadi, limitnya menjadi: lim (x -> π/4) [(cos^2(x) - sin^2(x)) / (sin x - cos x)]
Kita bisa memfaktorkan pembilang sebagai selisih dua kuadrat: cos^2(x) - sin^2(x) = (cos x - sin x)(cos x + sin x).
Limitnya menjadi: lim (x -> π/4) [((cos x - sin x)(cos x + sin x)) / (sin x - cos x)]
Perhatikan bahwa (cos x - sin x) = -(sin x - cos x).
Jadi, kita bisa menyederhanakan persamaan menjadi: lim (x -> π/4) [- (sin x - cos x)(cos x + sin x) / (sin x - cos x)]
Kita bisa membatalkan (sin x - cos x) dari pembilang dan penyebut.
Limitnya menjadi: lim (x -> π/4) [- (cos x + sin x)]
Sekarang, substitusikan x = π/4:
- (cos(π/4) + sin(π/4))
Kita tahu bahwa cos(π/4) = √2/2 dan sin(π/4) = √2/2.
Jadi, hasilnya adalah - (√2/2 + √2/2) = - (2√2/2) = -√2.