limit x->tak hingga (akar(4x^2-2x-5)-akar((2x-2)^2))= ...

3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 2x - 5} - \sqrt{(2x - 2)^2}) $, pertama-tama kita perlu menyederhanakan suku kedua:
$ \sqrt{(2x - 2)^2} = |2x - 2| $. Karena $x \to \infty$, maka $2x - 2$ akan bernilai positif, sehingga $|2x - 2| = 2x - 2$.

Sekarang limitnya menjadi: $ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 2x - 5} - (2x - 2)) $.

Untuk menyelesaikan bentuk tak tentu $\infty - \infty$, kita kalikan dengan bentuk sekawan:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} - (2x - 2))(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} + (2x - 2))}{(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} + (2x - 2))} $

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 2x - 5) - (2x - 2)^2}{(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} + (2x - 2))} $

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 2x - 5) - (4x^2 - 8x + 4)}{(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} + 2x - 2)} $

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 2x - 5 - 4x^2 + 8x - 4}{(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} + 2x - 2)} $

$= \lim_{x \to \infty} \frac{6x - 9}{(\sqrt{4x^2 - 2x - 5} + 2x - 2)} $

Untuk menyelesaikan limit $x \to \infty$ pada bentuk rasional, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x, yaitu x:
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x} - \frac{9}{x}}{(\sqrt{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{5}{x^2}} + \frac{2x}{x} - \frac{2}{x})} $

$= \lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{9}{x}}{(\sqrt{4 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}} + 2 - \frac{2}{x})} $

Saat $x \to \infty$, suku yang memiliki x di penyebut akan mendekati 0:
$= \frac{6 - 0}{(\sqrt{4 - 0 - 0} + 2 - 0)} $

$= \frac{6}{(\sqrt{4} + 2)} $

$= \frac{6}{(2 + 2)} $

$= \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Jadi, hasil limitnya adalah $\frac{3}{2}$.