limit x - > y (x akar(x) - y akar(y))/(akar(x) - akar(y)) =

3y

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x -> y (x * akar(x) - y * akar(y))/(akar(x) - akar(y)), kita dapat menggunakan substitusi atau L'Hopital's Rule.

Metode Substitusi:
Misalkan f(x) = x^(3/2). Maka limit tersebut menjadi:
lim (x->y) [f(x) - f(y)] / [x^(1/2) - y^(1/2)]
Ini mirip dengan definisi turunan, namun penyebutnya adalah akar(x) - akar(y).

Mari kita sederhanakan ekspresi tersebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut:
(x * akar(x) - y * akar(y)) / (akar(x) - akar(y)) * (akar(x) + akar(y)) / (akar(x) + akar(y))
= (x * akar(x) * akar(x) + x * akar(x) * akar(y) - y * akar(y) * akar(x) - y * akar(y) * akar(y)) / (x - y)
= (x^2 + x * akar(xy) - y * akar(xy) - y^2) / (x - y)
Ini masih belum sederhana.

Metode L'Hopital's Rule:
Karena jika kita substitusi y akan menghasilkan bentuk 0/0, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule.
Turunan dari pembilang terhadap x: d/dx [x * x^(1/2) - y * y^(1/2)] = d/dx [x^(3/2)] = (3/2)x^(1/2)
Turunan dari penyebut terhadap x: d/dx [x^(1/2) - y^(1/2)] = d/dx [x^(1/2)] = (1/2)x^(-1/2)

Maka, limitnya adalah: lim (x->y) [(3/2)x^(1/2)] / [(1/2)x^(-1/2)]
= lim (x->y) [3x^(1/2)] / [x^(-1/2)]
= lim (x->y) 3x^(1/2) * x^(1/2)
= lim (x->y) 3x
Substitusi y:
= 3y

Alternatif lain, faktorkan pembilang:
x * akar(x) - y * akar(y) = (x^(3/2) - y^(3/2))
Kita tahu a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
Jadi, x^(3/2) - y^(3/2) = (x^(1/2) - y^(1/2)) * ((x^(1/2))^2 + x^(1/2)y^(1/2) + (y^(1/2))^2)
= (akar(x) - akar(y)) * (x + akar(xy) + y)

Maka, ekspresi menjadi:
[(akar(x) - akar(y)) * (x + akar(xy) + y)] / (akar(x) - akar(y))
= x + akar(xy) + y

Sekarang, substitusi y ke dalam ekspresi yang telah disederhanakan:
y + akar(y*y) + y
= y + y + y
= 3y