Lingkaran L ekuivalen (x-3)^2 + (y-4)^2 - 25 = 0 memotong

Nilai dari cos sudut APB adalah 7/25.

Pembahasan

Lingkaran L memiliki persamaan $(x-3)^2 + (y-4)^2 - 25 = 0$, yang dapat ditulis ulang sebagai $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$.

Dari persamaan ini, kita dapat mengidentifikasi pusat lingkaran P adalah $(3, 4)$ dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{25} = 5$.

Lingkaran memotong sumbu X di titik A dan B. Pada sumbu X, nilai $y = 0$. Kita substitusikan $y=0$ ke dalam persamaan lingkaran:
$(x-3)^2 + (0-4)^2 = 25$
$(x-3)^2 + (-4)^2 = 25$
$(x-3)^2 + 16 = 25$
$(x-3)^2 = 25 - 16$
$(x-3)^2 = 9$
$x-3 = \pm \sqrt{9}$
$x-3 = \pm 3$

Maka, kita dapatkan dua nilai x:
$x_1 - 3 = 3 \Rightarrow x_1 = 6$
$x_2 - 3 = -3 \Rightarrow x_2 = 0$

Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah A = (0, 0) dan B = (6, 0). Pusat lingkaran adalah P = (3, 4).

Sekarang kita perlu mencari nilai cos sudut APB. Kita bisa menggunakan vektor atau aturan kosinus. Mari gunakan vektor.

Vektor PA = A - P = $(0-3, 0-4) = (-3, -4)$
Vektor PB = B - P = $(6-3, 0-4) = (3, -4)$

Panjang vektor PA = $|PA| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Panjang vektor PB = $|PB| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Perhatikan bahwa panjang PA dan PB sama dengan jari-jari lingkaran, yang memang seharusnya demikian.

Kita gunakan rumus dot product untuk mencari sudut APB (misalkan sudut ini adalah \theta):
$PA \cdot PB = |PA| |PB| \cos \theta$
$(-3)(3) + (-4)(-4) = (5)(5) \cos \theta$
$-9 + 16 = 25 \cos \theta$
$7 = 25 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{7}{25}$

Jadi, nilai dari cos sudut APB adalah \frac{7}{25}.