Lingkaran L: x^2+y^2-4x+2y-4=0 direfleksikan terhadap gari8

Persamaan bayangan lingkaran L adalah (x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 9.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan bayangan lingkaran L: x^2+y^2-4x+2y-4=0 setelah direfleksikan terhadap garis y=3, kita perlu mencari pusat dan jari-jari lingkaran awal terlebih dahulu, kemudian menerapkan transformasi refleksi.

1.  **Mencari pusat dan jari-jari lingkaran L:**
    Persamaan lingkaran umum adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a, b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
    Untuk mengubah persamaan L: x^2+y^2-4x+2y-4=0 ke bentuk umum, kita gunakan metode melengkapkan kuadrat:
    (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 4
    (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 4 + 4 + 1
    (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9
    Jadi, pusat lingkaran L adalah (2, -1) dan jari-jarinya adalah \(\sqrt{9} = 3\).

2.  **Refleksi terhadap garis y = 3:**
    Ketika sebuah titik (x, y) direfleksikan terhadap garis y = k, bayangannya adalah (x, 2k - y).
    Dalam kasus ini, garis refleksi adalah y = 3, sehingga k = 3.
    Pusat lingkaran L adalah (2, -1).
    Bayangan pusat L setelah refleksi terhadap y = 3 adalah:
    P' = (2, 2(3) - (-1))
    P' = (2, 6 + 1)
    P' = (2, 7)

    Jari-jari lingkaran tidak berubah setelah refleksi. Jadi, jari-jari bayangan lingkaran tetap 3.

3.  **Menyusun persamaan bayangan lingkaran:**
    Dengan pusat P'(2, 7) dan jari-jari 3, persamaan bayangan lingkaran adalah:
    (x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 3^2
    (x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 9

    Jika kita ingin mengubahnya ke bentuk umum:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 14y + 49 = 9
x^2 + y^2 - 4x - 14y + 53 = 9
x^2 + y^2 - 4x - 14y + 44 = 0

Jadi, persamaan bayangan lingkaran L adalah (x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 9 atau x^2 + y^2 - 4x - 14y + 44 = 0.