Lingkaran yang melalui titik-titik (4,2),(1,3), dan (-3,-5)

5

Pembahasan

Untuk mencari jari-jari lingkaran yang melalui tiga titik, kita dapat menggunakan persamaan umum lingkaran (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Kita juga bisa menggunakan bentuk umum x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0.

Metode 1: Menggunakan Jarak
Misalkan pusat lingkaran adalah (a,b). Jarak dari pusat ke ketiga titik sama dengan jari-jari (r).
Jarak dari (a,b) ke (4,2): (4-a)^2 + (2-b)^2 = r^2
Jarak dari (a,b) ke (1,3): (1-a)^2 + (3-b)^2 = r^2
Jarak dari (a,b) ke (-3,-5): (-3-a)^2 + (-5-b)^2 = r^2

Samakan persamaan pertama dan kedua:
(4-a)^2 + (2-b)^2 = (1-a)^2 + (3-b)^2
16 - 8a + a^2 + 4 - 4b + b^2 = 1 - 2a + a^2 + 9 - 6b + b^2
20 - 8a - 4b = 10 - 2a - 6b
10 = 6a - 2b
5 = 3a - b  (Persamaan 1)

Samakan persamaan kedua dan ketiga:
(1-a)^2 + (3-b)^2 = (-3-a)^2 + (-5-b)^2
1 - 2a + a^2 + 9 - 6b + b^2 = 9 + 6a + a^2 + 25 + 10b + b^2
10 - 2a - 6b = 34 + 6a + 10b
-24 = 8a + 16b
-3 = a + 2b  (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) 3a - b = 5
2) a + 2b = -3

Dari Persamaan 1, b = 3a - 5.
Substitusikan ke Persamaan 2:
a + 2(3a - 5) = -3
a + 6a - 10 = -3
7a = 7
a = 1

Substitusikan a=1 ke b = 3a - 5:
b = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2

Jadi, pusat lingkaran adalah (1, -2).

Sekarang hitung jari-jari menggunakan salah satu titik, misalnya (4,2):
r^2 = (4-a)^2 + (2-b)^2
r^2 = (4-1)^2 + (2-(-2))^2
r^2 = (3)^2 + (4)^2
r^2 = 9 + 16
r^2 = 25
r = 5

Metode 2: Menggunakan Gradien Garis Sumbu.
Jari-jari adalah jarak dari pusat ke titik manapun. Sumbu-sumbu dari tali busur yang dibentuk oleh dua titik akan berpotongan di pusat lingkaran. Sumbu tali busur tegak lurus terhadap tali busur dan membagi dua sama panjang.

Gradien garis antara (4,2) dan (1,3) adalah m1 = (3-2)/(1-4) = 1/-3 = -1/3.
Gradien sumbu tegak lurusnya adalah m_sumbu1 = 3.
Titik tengah tali busur 1 = ((4+1)/2, (2+3)/2) = (5/2, 5/2).
Persamaan sumbu 1: y - 5/2 = 3(x - 5/2) => y = 3x - 15/2 + 5/2 => y = 3x - 10/2 => y = 3x - 5.

Gradien garis antara (1,3) dan (-3,-5) adalah m2 = (-5-3)/(-3-1) = -8/-4 = 2.
Gradien sumbu tegak lurusnya adalah m_sumbu2 = -1/2.
Titik tengah tali busur 2 = ((1-3)/2, (3-5)/2) = (-2/2, -2/2) = (-1, -1).
Persamaan sumbu 2: y - (-1) = -1/2(x - (-1)) => y + 1 = -1/2(x + 1) => 2y + 2 = -x - 1 => x + 2y = -3.

Cari perpotongan kedua sumbu:
Dari sumbu 1: y = 3x - 5.
Substitusikan ke sumbu 2:
x + 2(3x - 5) = -3
x + 6x - 10 = -3
7x = 7
x = 1.

Jika x = 1, maka y = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2.
Jadi, pusatnya adalah (1, -2).

Hitung jari-jari menggunakan jarak dari pusat (1,-2) ke titik (4,2):
r = sqrt((4-1)^2 + (2-(-2))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Jadi, berjari-jari 5.