Luas daerah yang dibatasi kurva y=x^2-3x, garis x=1, x=2

13/6

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2 - 3x, garis x = 1, x = 2, dan sumbu X, kita perlu menghitung integral tentu dari fungsi tersebut dalam interval [1, 2].

Luas = integral dari (x^2 - 3x) dx dari 1 sampai 2.

Langkah 1: Cari antiturunan dari (x^2 - 3x).
Antiturunan dari x^2 adalah (1/3)x^3.
Antiturunan dari -3x adalah -(3/2)x^2.
Jadi, antiturunannya adalah F(x) = (1/3)x^3 - (3/2)x^2.

Langkah 2: Evaluasi antiturunan pada batas atas (x=2) dan batas bawah (x=1).
F(2) = (1/3)(2)^3 - (3/2)(2)^2 = (1/3)(8) - (3/2)(4) = 8/3 - 12/2 = 8/3 - 6.
Untuk menghitung 8/3 - 6, kita samakan penyebutnya:
F(2) = 8/3 - 18/3 = -10/3.

F(1) = (1/3)(1)^3 - (3/2)(1)^2 = (1/3)(1) - (3/2)(1) = 1/3 - 3/2.
Untuk menghitung 1/3 - 3/2, kita samakan penyebutnya:
F(1) = 2/6 - 9/6 = -7/6.

Langkah 3: Hitung integral tentu dengan mengurangkan F(1) dari F(2).
Luas = F(2) - F(1) = (-10/3) - (-7/6).
Luas = -10/3 + 7/6.
Samakan penyebutnya:
Luas = -20/6 + 7/6 = -13/6.

Karena luas daerah tidak bisa negatif, ini berarti kurva y = x^2 - 3x berada di bawah sumbu X pada interval [1, 2]. Untuk mendapatkan luas positif, kita ambil nilai absolut dari hasil integral, atau kita integralkan fungsi - (x^2 - 3x).

Mari kita cek apakah kurva di bawah sumbu X pada interval [1, 2].
Untuk x=1, y = 1^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2.
Untuk x=1.5, y = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25.
Untuk x=2, y = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2.

Ya, kurva berada di bawah sumbu X pada interval [1, 2]. Oleh karena itu, luas daerahnya adalah nilai absolut dari hasil integral tersebut.

Luas = |-13/6| = 13/6 satuan luas.

Jawaban: 13/6 satuan luas.