Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x^2+2x+3 dan

$\int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, kita perlu mencari titik potong kedua kurva terlebih dahulu. Atur kedua persamaan y sama dengan:
-x^2 + 2x + 3 = -x + 3
-x^2 + 2x + x + 3 - 3 = 0
-x^2 + 3x = 0
x(-x + 3) = 0
Jadi, titik potongnya adalah x = 0 dan x = 3.

Selanjutnya, kita perlu menentukan kurva mana yang berada di atas. Kita bisa menguji sebuah nilai x di antara 0 dan 3, misalnya x = 1:
Untuk y = -x^2 + 2x + 3: y = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Untuk y = -x + 3: y = -(1) + 3 = 2
Karena 4 > 2, maka kurva y = -x^2 + 2x + 3 berada di atas kurva y = -x + 3 pada interval [0, 3].

Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dinyatakan dengan integral dari selisih fungsi yang di atas dikurangi fungsi yang di bawah, dari batas bawah hingga batas atas:
Luas = $\int_{0}^{3} [(-x^2 + 2x + 3) - (-x + 3)] dx$
Luas = $\int_{0}^{3} (-x^2 + 2x + 3 + x - 3) dx$
Luas = $\int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$