Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan garis x+y=6
Pertanyaan
Berapakah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x² dan garis x+y=6?
Solusi
Verified
125/6 satuan luas
Pembahasan
Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x² dan garis x+y=6, kita perlu mencari titik potong kedua fungsi tersebut terlebih dahulu, lalu menghitung integral dari selisih kedua fungsi tersebut di antara titik potongnya. 1. **Mencari Titik Potong:** Kita substitusikan y dari persamaan garis ke persamaan kurva: y = 6 - x x² = 6 - x x² + x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0 Jadi, titik potongnya adalah x = -3 dan x = 2. 2. **Menentukan Fungsi Atas dan Bawah:** Di antara x = -3 dan x = 2, kita perlu menentukan fungsi mana yang berada di atas. Ambil contoh x = 0: Untuk kurva: y = 0² = 0 Untuk garis: y = 6 - 0 = 6 Karena 6 > 0, maka garis (y = 6 - x) berada di atas kurva (y = x²). 3. **Menghitung Luas Menggunakan Integral:** Luas = ∫[dari -3 sampai 2] (fungsi atas - fungsi bawah) dx Luas = ∫[dari -3 sampai 2] ((6 - x) - x²) dx Luas = ∫[dari -3 sampai 2] (6 - x - x²) dx Integral dari (6 - x - x²) adalah 6x - (1/2)x² - (1/3)x³ Sekarang kita evaluasi integral tersebut dari -3 sampai 2: Luas = [6(2) - (1/2)(2)² - (1/3)(2)³] - [6(-3) - (1/2)(-3)² - (1/3)(-3)³] Luas = [12 - (1/2)(4) - (1/3)(8)] - [-18 - (1/2)(9) - (1/3)(-27)] Luas = [12 - 2 - 8/3] - [-18 - 9/2 + 9] Luas = [10 - 8/3] - [-9 - 9/2] Luas = [30/3 - 8/3] - [-18/2 - 9/2] Luas = [22/3] - [-27/2] Luas = 22/3 + 27/2 Untuk menjumlahkan kedua pecahan, kita samakan penyebutnya: Luas = (22 * 2) / (3 * 2) + (27 * 3) / (2 * 3) Luas = 44/6 + 81/6 Luas = 125/6 Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x² dan garis x+y=6 adalah 125/6 satuan luas.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Tentu
Section: Luas Daerah Di Bawah Kurva
Apakah jawaban ini membantu?