Diketahui belah ketupat ABCD dengan O adalah titik potong

2 vektor AC atau 4 vektor AO.

Pembahasan

Dalam belah ketupat ABCD dengan O sebagai titik potong diagonal AC dan BD, vektor AB, AC, dan AD memiliki sifat-sifat khusus.

Karena O adalah titik potong diagonal, maka OB = OD dan OA = OC. Diagonal belah ketupat saling tegak lurus, sehingga vektor OA tegak lurus dengan vektor OB.

Kita dapat menyatakan vektor-vektor tersebut dalam bentuk:
vektor AB = vektor AO + vektor OB
vektor AC = vektor AO + vektor OC = vektor AO - vektor OA
vektor AD = vektor AO + vektor OD = vektor AO - vektor OB

Menjumlahkan ketiga vektor tersebut:
vektor AB + vektor AC + vektor AD = (vektor AO + vektor OB) + (vektor AO - vektor OA) + (vektor AO - vektor OB)

Perhatikan bahwa vektor AO = -vektor OA.
Jadi, vektor AB + vektor AC + vektor AD = (vektor AO + vektor OB) + (-vektor OA - vektor OA) + (vektor AO - vektor OB)
= vektor AO + vektor OB - 2 vektor OA + vektor AO - vektor OB
= 2 vektor AO - 2 vektor OA
= 2 vektor AO - 2 (-vektor AO)
= 2 vektor AO + 2 vektor AO
= 4 vektor AO

Namun, jika kita menggunakan sifat bahwa diagonal berpotongan di tengah dan saling tegak lurus:
vektor AB = vektor AO + vektor OB
vektor AC = 2 vektor AO
vektor AD = -vektor AB

Maka vektor AB + vektor AC + vektor AD = vektor AB + 2 vektor AO + (-vektor AB) = 2 vektor AO = vektor AC.

Atau, jika kita melihat dari titik O:
vektor AB = vektor AO + vektor OB
vektor AD = vektor AO + vektor OD = vektor AO - vektor OB
vektor AC = 2 vektor AO

vektor AB + vektor AD = (vektor AO + vektor OB) + (vektor AO - vektor OB) = 2 vektor AO = vektor AC

Jadi, vektor AB + vektor AC + vektor AD = (vektor AB + vektor AD) + vektor AC = vektor AC + vektor AC = 2 vektor AC.

Kesalahan dalam interpretasi awal. Mari kita gunakan sifat vektor pada belah ketupat:
Titik O adalah titik potong diagonal, sehingga $\vec{AO} = -\vec{OC}$ dan $\vec{BO} = -\vec{OD}$.
$\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$
$\vec{AC} = \vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AO} - \vec{OA}$
$\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AO} - \vec{OB}$

Jumlahkan ketiga vektor:
$\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} = (\vec{AO} + \vec{OB}) + (\vec{AO} - \vec{OA}) + (\vec{AO} - \vec{OB})$
$= \vec{AO} + \vec{OB} + \vec{AO} - \vec{OA} + \vec{AO} - \vec{OB}$
$= 3 \vec{AO} - \vec{OA}$
Karena $\vec{AO} = -\vec{OA}$, maka:
$= 3 \vec{AO} - (-\vec{AO})$
$= 3 \vec{AO} + \vec{AO}$
$= 4 \vec{AO}$

Karena $\vec{AC} = 2 \vec{AO}$, maka $4 \vec{AO} = 2 \vec{AC}$.

Jadi, hasil dari vektor AB + vektor AC + vektor AD sama dengan 2 kali vektor AC atau 4 kali vektor AO.