Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan y=-x^2+4x

Luas daerahnya adalah 8/3 satuan luas.

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan $y=-x^2+4x$, pertama-tama kita perlu mencari titik potong kedua kurva tersebut dengan menyamakan kedua persamaan:
$x^2 = -x^2 + 4x$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Jadi, titik potongnya adalah $x=0$ dan $x=2$.

Selanjutnya, kita perlu menentukan kurva mana yang berada di atas antara $x=0$ dan $x=2$. Mari kita ambil $x=1$ sebagai titik uji:
Untuk $y=x^2$, $y = 1^2 = 1$.
Untuk $y=-x^2+4x$, $y = -1^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$.
Karena $3 > 1$, maka kurva $y=-x^2+4x$ berada di atas kurva $y=x^2$ pada interval $[0, 2]$.

Luas daerah dapat dihitung dengan integral tentu dari selisih kedua kurva:
Luas $= \int_{0}^{2} ((-x^2 + 4x) - x^2) dx$
Luas $= \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx$
Luas $= [- \frac{2}{3}x^3 + 2x^2]_{0}^{2}$
Luas $= (- \frac{2}{3}(2)^3 + 2(2)^2) - (- \frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)^2)$
Luas $= (- \frac{2}{3}(8) + 2(4)) - (0)$
Luas $= -\frac{16}{3} + 8$
Luas $= -\frac{16}{3} + \frac{24}{3}$
Luas $= \frac{8}{3}$ satuan luas.