Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, kurva y=-x^(2)+2 x
Pertanyaan
Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, kurva y = -x^2 + 2x, dan garis singgung kurva di titik (2,0) adalah ...
Solusi
Verified
Luas daerah tersebut adalah 2 \frac{2}{3}.
Pembahasan
Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, kurva y = -x^2 + 2x, dan garis singgung kurva di titik (2,0), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut: 1. **Tentukan persamaan garis singgung:** * Pertama, cari turunan pertama dari kurva y = -x^2 + 2x untuk mendapatkan gradien (m): y' = -2x + 2 * Hitung gradien di titik (2,0) dengan memasukkan x = 2 ke dalam turunan: m = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2 * Gunakan rumus persamaan garis singgung (y - y1) = m(x - x1) dengan titik (x1, y1) = (2,0) dan m = -2: (y - 0) = -2(x - 2) y = -2x + 4 2. **Tentukan batas integrasi:** * Daerah dibatasi oleh sumbu-Y (x=0) dan titik singgung pada kurva (x=2). * Jadi, batas integrasi adalah dari x=0 hingga x=2. 3. **Hitung luas daerah:** * Luas daerah dihitung dengan mengintegrasikan selisih antara kurva atas dan kurva bawah. Dalam kasus ini, kurva y = -x^2 + 2x berada di atas garis singgung y = -2x + 4 pada interval [0, 2]. * Luas = \int_{0}^{2} [(-x^2 + 2x) - (-2x + 4)] dx * Luas = \int_{0}^{2} (-x^2 + 4x - 4) dx * Integralkan fungsi tersebut: Luas = [- (x^3)/3 + 4(x^2)/2 - 4x] dari 0 hingga 2 Luas = [- (x^3)/3 + 2x^2 - 4x] dari 0 hingga 2 * Substitusikan batas atas dan batas bawah: Luas = [(-(2)^3)/3 + 2(2)^2 - 4(2)] - [(-(0)^3)/3 + 2(0)^2 - 4(0)] Luas = [-8/3 + 8 - 8] - [0] Luas = -8/3 * Karena luas tidak mungkin negatif, kita ambil nilai absolutnya. Namun, perlu diperiksa kembali apakah kurva atas dan bawah sudah benar. Mari kita cek ulang batas dan fungsi. Sumbu Y adalah x=0. Garis singgung di (2,0) adalah y = -2x+4. Kurva adalah y = -x^2+2x. Titik potong sumbu Y (x=0) pada kurva adalah y=0. Titik potong sumbu Y pada garis singgung adalah y=4. Pada x=2, kurva y = -2^2 + 2(2) = -4+4 = 0. Garis singgung y = -2(2)+4 = 0. Titik (2,0) memang pada kurva dan garis singgung. Daerah yang dibatasi sumbu Y (x=0), kurva y=-x^2+2x, dan garis singgung y=-2x+4 di (2,0). Pada interval [0, 2], mari kita cek kurva mana yang di atas. Misal x=1: Kurva: y = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1 Garis singgung: y = -2(1) + 4 = -2 + 4 = 2 Ternyata garis singgung berada di atas kurva pada interval [0, 2]. Maka, perhitungan luas menjadi: Luas = \int_{0}^{2} [(-2x + 4) - (-x^2 + 2x)] dx Luas = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx Luas = [(x^3)/3 - 4(x^2)/2 + 4x] dari 0 hingga 2 Luas = [(x^3)/3 - 2x^2 + 4x] dari 0 hingga 2 Luas = [((2)^3)/3 - 2(2)^2 + 4(2)] - [0] Luas = [8/3 - 8 + 8] Luas = 8/3 8/3 sama dengan 2 \frac{2}{3}. Jadi, jawaban yang benar adalah E. 2 (2)/(3).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Aplikasi Integral, Integral Tentu
Section: Luas Daerah
Apakah jawaban ini membantu?