Luas jajargenjang ABCD=81 cm^2; panjang AC=10 cm dan

Panjang BD adalah 27 cm.

Pembahasan

Diketahui luas jajargenjang ABCD adalah 81 cm$^2$, panjang diagonal AC = 10 cm, dan kosinus sudut antara diagonal AC dan BD adalah $\frac{4}{5}$. Misalkan panjang diagonal BD adalah $d$.

Luas jajargenjang dapat dihitung menggunakan rumus: Luas = $\frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta$, di mana $d_1$ dan $d_2$ adalah panjang diagonal dan $\theta$ adalah sudut di antara keduanya.

Kita tahu bahwa $\cos \theta = \frac{4}{5}$. Kita dapat mencari $\sin \theta$ menggunakan identitas $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. Maka, $\sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. Karena sudut dalam jajargenjang adalah lancip atau tumpul, $\sin \theta$ positif, jadi $\sin \theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Sekarang kita masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus luas:
$81 = \frac{1}{2} \times 10 \times d \times \frac{3}{5}$
$81 = 5 \times d \times \frac{3}{5}$
$81 = 3d$
$d = \frac{81}{3}$
$d = 27$ cm

Jadi, panjang BD adalah 27 cm.